Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Giới thiệu tới bạn 11 dạng bài cực trị hàm số được trình bày công phu: cơ sở lý thuyết; phương pháp; ví dụ minh họa; bài tập vận dụng; … Hy vọng bài viết này hữu ích với các em.
Dạng 1: Tìm m để hàm số có cực đại hoặc cực tiểu hoặc có cực đại và cực tiểu
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a,b) , x0 là một điểm thuộc (a;b). Nếu y’ đổi dấu khi đi qua x0 thì ta nói: Hàm số f đạt cực trị tại điểm x0
- Nếu y’ đổi dấu từ – sang + thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số và kí hiệu là fCT = f(x0).Điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
- Nếu y’ đổi dấu từ + sang – thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. Giá trị f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số và kí hiệu là fCĐ = f(x0). Điểm M(x0; f(x0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = f(x).
Có thể dùng y’’ để xác định cực đại , cực tiểu của hàm số :
- Hàm số đạt cực đại tại điểm x0⇔y′(x0)<0
- Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0⇔y′(x0)>0
Nếu dấu của y’ mà phụ thuộc vào dấu của một tam thức bậc hai thì ĐK để hàm số có cực trị hoặc điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là tam thức bậc hai đó có hai nghiệm phân biệt vì nếu một tam thức bậc hai đã có hai nghiệm phân biệt thì hiển nhiên tam thức đó sẽ đổi dấu hai lần khi đi qua các nghiệm.
Dạng 2: Tìm m để hàm số có một điểm cực trị, 3 điểm cực trị ( hàm bậc 4 ) hoặc không có cực trị
Số lần đổi dấu của y’ khi đi qua nghiệm của nó đúng bằng số cực trị của hàm số y = f(x).
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị: Tính y’ và biện luận số nghiệm của phương trình y’ = 0, nếu phương trình y’ = 0 nhận được là hàm bậc 3 ta có thể sử dụng các điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt .
- Cách 1: Nếu nhẩm được 1 nghiệm của pt thì pt b3 phân tích được thành tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc 2 thì biện luận cho nhân tử bậc hai có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm của nhân tử bậc nhất
- Cách 2: Nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng tương giao giữa đồ thị hàm bậc 3 với trục Ox để tìm đk cho pt bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị: Nếu pt y’= 0 nhận được là pt bậc nhất hoặc bậc 2 thì đơn giản , ta chỉ xét TH pt nhận được là pt bậc 3 đầy đủ
- Cách 1: Nếu nhẩm được 1 nghiệm của pt thì pt b3 phân tích được thành tích của một nhân tử bậc nhất với một nhân tử bậc 2 thì biện luận cho nhân tử bậc hai có nghiệm kép trùng với nghiệm của nhân tử bậc nhất.
- Cách 2 : Nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng tương giao giữa đồ thị hàm bậc 3 với trục Ox để tìm đk cho pt bậc 3 có 1 nghiệm duy nhất ( chú ý 2 trường hợp ).
Cách giải dạng bài tập: Tìm m để hàm số không có cực trị: ta chỉ việc biện luận cho pt y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm nhưng không đổi dấu qua nghiệm ( tức là trường hợp y’ = 0 có nghiệm bội chẵn )
Dạng 3: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho hoành độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toán
Khi đó
- Tính y’ và tìm đk để y’ = 0 có nghiệm sao cho tồn tại cực đại, cực tiểu của hàm số
- Giả sử x1, x2 là các nghiệm của pt y’ = 0 theo Vi – ét ta có: x1+x2=−b/a
- Kết hợp định lý Vi – ét với yêu cầu về hoành độ của bài toán và đk tìm được ở bước thứ nhất để tìm ra đk của tham số.
Dạng 4: Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu sao cho tung độ các điểm cực trị thoả mãn một yêu cầu nào đó của bài toán
Tính y’ và tìm đk để y’ = 0 có nghiệm sao cho tồn tại cực đại, cực tiểu của hàm số
Giả sử x1, x2 là các nghiệm của pt y’ = 0 theo Vi – ét ta có: x1.x2=c/a
Tìm mối liên hệ giữa tung độ điểm cực trị với hoành độ tương ứng của nó bằng cách:
- Nếu y = f(x) là hàm đa thức thì ta lấy y chia cho y’ được phần dư là R(x), khi đó ycực trị =R(xcực trị) .
- Nếu y=u(x)v(x) và (x0,y0) là điểm cực trị thì : y0=u(x0)v(x0)=u′(x0)v′(x0).
* Kết hợp định lý Vi- ét với yêu cầu về tung độ của bài toán và đk tìm được ở bước thứ nhất để tìm ra đk của tham số .
Dạng 5: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và tại đó là điểm cực đại hay cực tiểu
Cách 1:
- Tìm điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0 : y’(x0) = 0
- Kiểm tra điều kiện đủ: Lập bảng xét dấu của y’ xem có đúng với giá trị tìm được của tham số thì hàm số có đạt cực trị tại xo hay không. Từ bảng này cũng cho biết tại x0 hàm số đạt cực đại hay cực tiểu.
Cách 2:
Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị tại x0 là y′(x0)≠0 sau đó dựa vào dấu của y’’ để nhận biết x0 là cực đại hay cực tiểu.
Chú ý :
- Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x0 là: y′(x0)<0
- Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x0 là: y′(x0)>0
Dạng 6: Tìm quỹ tích của điểm cực trị
Thông thường cách giải tương tự như việc tính nhanh ycực trị
Dạng 7: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số và đường thẳng đó thoả mãn một số yêu cầu nào đó
Ta biết:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y= f(x)
b) Tìm m đề đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (đồ thị hàm số) thoả mãn một số yêu cầu cho trước :
- Tìm m để hàm số có cực trị.
- Lập pt đường thẳng đi qua các điểm cực trị.
- Cho đường thẳng vừa lập thoả mãn yêu cầu đề bài.
- Đối chiếu , kết kợp tất cả các đk kiện của tham số rút ra kết luận.
c) Chứng minh rằng với mọi m , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn đi qua một ( hoặc nhiều ) điểm cố định.
- CM rằng với mọi m hàm số luôn có cực trị .
- Lập pt đường thẳng (dm) đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số ( còn chứa tham số )
- Tìm điểm cố định mà với mọi m thì đường thẳng (dm) luôn đi qua( đã có thuật toán).
- Kết luận.
d) Chứng minh rằng các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( chỉ việc tìm đt đi qua các điểm cực trị , thấy các yếu tố của đt này cố định từ đó rút ra kết luận)
e) Chú ý: Đối với hàm bậc 4 không những có khái niệm đường thẳng đi qua các điểm cực trị mà còn có thể có khái niệm Parabol đi qua các điểm cực trị ( khi phần dư của phép chia y( có bậc 4) cho y’( có bậc 3) có bậc là 2 ).Khi đó cũng có thể có các câu hỏi tương tự như trên đối với Parabol này
Dạng 8: Vị trí của các điểm cực trị đối với các trục toạ độ
1. Vị trí của các điểm cực trị của hàm b2b1 đối với hệ trục Oxy.
Bài tập 1: Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (I) , một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (III).
Bài tập 2: Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (II) , một điểm cực trị nằm ở góc phần tư thứ (IV).
Phương pháp giải :
+ Điều kiện 1 : y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 trái dấu.
+ Điều kiện 2 : Đồ thị hàm số không cắt Ox ( phương trình y = 0 vô nghiệm)
+ Điều kiện 3:
- Với Bài tập 1: a(m) > 0
- Với Bài tập 2: a(m) < 0
( Trong đó a(m) là hệ số chứa m của tam thức bậc 2 của tử số của y’)
Chú ý: Đối với những bài toán mà yêu cầu phải giải một hệ đk để có kết quả , ta thường giải một số đk đơn giản trước rồi kết hợp chúng với nhau xem sao , đôi khi kết quả thu được là sư vô lý thì không cần giải thêm các đk khác nữa.
2.Vị trí của các điểm cực trị của hàm y=a.x3+bx2+cx+d(a≠0) đối với hệ toạ độ Oxy.
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy
b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy.
c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu cách đều Oy.
d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Ox.
e) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox.
f) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu cách đều Ox.
Phương pháp giải
- Bước 1 : Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu: y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
- Bước 2 : Các điều kiện
a) cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy ⇔x1.x2>0
b) cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy ⇔x1.x2<0
c) cực đại, cực tiểu cách đều Oy
- Điều kiện cần: xuốn = 0 ( điểm uốn thuộc trục Oy) => giá trị của tham số.
- Điều kiện đủ: Thay giá trị tìm được của tham số vào và thử lại.
- Kết luận về giá trị “ hợp lệ” của tham số.
d)cực đại, cực tiểu nằm về một phía Ox ⇔y1.y2>0
e) cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Ox ⇔y1.y2<0
f) cực đại, cực tiểu cách đều Ox :
- Điều kiện cần: yuốn = 0 ( điểm uốn thuộc trục Ox) giá trị của tham số.
- Điều kiện đủ: Thay giá trị tìm được của tham số vào và thử lại.
- Kết luận về giá trị “ hợp lệ” của tham số.
Chú ý: Có thể kết hợp các đk ở bước 1 và bước 2 để đk trở nên đơn giản , gọn nhẹ, chẳng hạn như câu: “Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho cực đại, cực tiểu nằm về một phía Oy “ có thể gộp hai đk trở thành : Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương….
Dạng 9: Vị trí của điểm cực trị đối với đường thẳng cho trước ( cách đều , nằm về một phía , nằm về hai phía, đối xứng nhau qua đường thẳng …)
Vị trí của các điểm cực trị của hàm số y = f(x, m) (Cm) đối với đường thẳng (d) : Ax + By +C =0 cho trước.
a) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc hai phía của (d)
- B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
- B2: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó A, B thuộc hai phía của (d) ⇔(A.x1+B.y1+C)(A.x2+B.y2+C)<0. ( ở bước này nếu không xác định được toạ độ cụ thể của A , B người ta có thể dựa và mối liên hệ giữa y1 và x1 , giữa y2 với x2 và sử dụng Vi- et đối với PT y ‘ = 0)
- B3 : Đối chiếu các đk và kết luận
b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu thuộc cùng phía với (d)
- B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
- B2: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó A, B thuộc cùng phía với (d) ⇔(A.x1+B.y1+C)(A.x2+B.y2+C)>0.
- B3 : Đối chiếu các đk và kết luận.
c) Tìm m để cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng (d).
- B1: Xét y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thuộc TXĐ.
- B2:
Cách 1: Giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2) là toạ độ của các điểm cực trị khi đó ta giải đk về khoảng cách tìm ra đk của tham số
Cách 2:
- Điều kiện cần : Điểm uốn (với hàm bậc 3) hoặc giao điểm 2 tiệm cận ( với hàm b2b1) thuộc (d)
- Điều kiện đủ: Thay m vào và kiểm tra lại .
d) Tìm m để cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d).
- B1: Như trên.
- B2: Như trên.
- B3: Cho AB vuông góc với d ( có thể dùng hệ số góc , cũng có thể dùng véc tơ pháp tuyến)
Dạng 10: Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều , tam giác vuông cân.( đối với hàm bậc 4 trùng phương )
Phương pháp chung :
- Bước 1 : Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị
- Bước 2 : Gọi A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) là tọa độ các điểm cực trị trong đó B là điểm nằm trên Oy.
Dạng 11: Tìm m để đồ thị hàm số bậc 4 có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận điểm G cho trước làm trọng tâm
Phương pháp chung:
Tìm đk để hàm số có ba điểm cực trị , giả sử A(x1,y1) , B(x2,y2), C (x3,y3) là tọa độ các điểm cực trị
Theo giả thiết G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
- x1+x2+x3=3x0(1)
- y1+y2+y3=3y0(2)
x1,x2,x3 là nghiệm của y’ = 0 nên theo Vi- ét ta có:
- x1 +x2 + x3 = – b/a (3)
- x1x2+x2x3+x3x1 = c/a (4)
- x1x2x3=−d/a (5)
Từ phương trình (2) kết hợp với mối liên hệ đặc biệt giữa x1,x2,x3 và y1,y2,y3 ta tìm thêm được mối liên hệ giữa x1,x2,x3. Kết hợp các phương trình, giải hệ tìm được giá trị của tham số, đối chiếu với các điều kiện và kết luận.