Bài tập khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương
Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Nhận dạng đồ thị: Đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4, hệ số \(a\) dương hay âm.
– Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với \(Oy\) và thay tọa độ vào các hàm số ở từng đáp án.
– Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.
– Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình \(y’ = 0\), tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.
– Bước 5: Giải phương trình \(y = 0\) ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.
HS chỉ cần thực hiện từng bước rồi loại bớt đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì dừng lại, không nhất thiết phải thực hiện hết cả 5 bước nếu đã tìm ra đáp án trước đó để tránh mất thời gian.
Dạng 2: Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, hệ số \(a\) âm hay dương.
– Bước 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.
– Bước 3: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình \(y’ = 0\), tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.
Dạng 3: Nhận xét các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số có bảng biến thiên cho trước. (về tính đơn điệu, cực trị, tâm đối xứng, trục đối xứng,…)
Phương pháp:
– Bước 1: Quan sát bảng biến thiên, tìm các khoảng đơn điệu, các điểm cực trị của hàm số.
– Bước 2: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, từ đó tìm được tâm đối xứng, trục đối xứng,…
– Bước 3: Đối chiếu các kết quả thu được ở trên với các đáp án bài cho và xét tính đúng sai của các đáp án.
HS cũng có thể xét tính đúng sai của từng đáp án ngay mà không cần nhận xét tất cả các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số đã nêu ở trên để tránh mất nhiều thời gian.
Dạng 4: Tìm điều kiện của các hệ số của hàm đa thức bậc ba có đồ thị cho trước.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) cho trước. Tìm điều kiện của \(a,b,c,d\).
Phương pháp:
– Bước 1: Xét tính dương, âm của hệ số \(a\) dựa và dáng đồ thị.
– Bước 2: Tìm điều kiện của \(d\) dựa và giao điểm của đồ thị hàm số với trục \(Oy\).
+ Nếu giao điểm nằm trên trục hoành thì \(d > 0\).
+ Nếu giao điểm nằm dưới trục hoành thì \(d < 0\).
+ Nếu giao điểm trùng với gốc tọa độ \(O\) thì \(d = 0\).
– Bước 3: Tìm điều kiện của \(b,c\) dựa vào các điểm cực trị của đồ thị hàm số:
+ Nếu đồ thị hàm số không có cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {b^2} – 3ac \le 0\).
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ‘ = {b^2} – 3ac > 0\).
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị nằm trái phía với trục tung thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt trái dấu \( \Leftrightarrow 3ac < 0 \Leftrightarrow ac < 0\).
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên trái trục tung thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {b^2} – 3ac > 0\\S = – \dfrac{{2b}}{{3a}} < 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right.\)
+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên phải trục tung thì phương trình \(y’ = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ = {b^2} – 3ac > 0\\S = – \dfrac{{2b}}{{3a}} > 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} > 0\end{array} \right.\)
Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Tính \(y’;y”\), giải phương trình \(y” = 0\).
– Bước 2: Giả sử \({x_0}\) là một nghiệm của phương trình \(y” = 0\) thì điểm uốn \(U\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).
– Bước 3: Thay tọa độ điểm uốn vào điều kiện đề bài để tìm \(m\)