Bài tập cực trị chuyên đề khảo sát hàm số
Câu 1: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{(x + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1 \end{array} \right.\) \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = – 2 \end{array} \right.\) \(y’ = 3{x^2} – 3\\ y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Chọn D. \(y’ = 2{x^3} – 4x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \sqrt 2 \\ x = \sqrt 2 \end{array} \right.\) \(y = (x – 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\) Ta tính đạo hàm của hàm số được \(y’ = – {x^2} – 1\) nhận thấy phương trình \(y’ = 0\) vô nghiệm, nên đáp án đúng là B, hàm số không có cực trị. \(y = m{x^4} + \left( {m – 1} \right){x^2} + 1 – 2m \Rightarrow y’ = 4m{x^3} + 2\left( {m – 1} \right)x = 2x\left( {2m{x^2} + m – 1} \right)\) Đối với hàm đa thức, điều kiện cần để hàm số đạt cực trị là: \(y’ = 0\). Do đó ta có: Ta có: \(y = \left| x \right| = \sqrt {{x^2}}\) \(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Vì đây là bài toán xét tính đúng sai của mệnh đề nên ta cần đi xem xét từng mệnh đề một. Vì đây là bài toán về cực trị nên trước tiên ta đi tìm đạo hàm của hàm số sau đó xét phương trình y’=0 để tìm kết luận cho bài toán. Đây là hàm số bậc ba, vậy để tìm được số điểm cực trị của đồ thị hàm số ta chỉ cần xét số nghiệm của phương trình \(y’ = 0\) Yêu cầu của bài toán là tìm m để đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\), thì ta đi tìm 2 điểm cực trị rồi từ đó suy ra tọa độ trung điểm, thay vào phương trình của đường thẳng đã cho rồi ta tìm được m. Hàm số xác định với mọi \(x\in R\). Ta có: Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\). TXĐ: D =R Ta có \(y’ = 3{x^2} – 10x + 7\) Xét hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c \left ( a\ne0 \right )\) Dựa vào BBT ta thấy hàm số xác định tại x = 3 và y’đổi dấu khi đi qua x = 3 suy ra hàm số có đạt cực trị tại x=3. TXĐ: \(D=\mathbb{R}\) \(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4mx\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 4x({x^2} – m) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\) Hàm số \(y = x – {e^x}\) có \(y’ = 1 – {e^x},y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\) TXĐ: D=R\{0} Ta có \(y = m{x^4} + \left( {m – 1} \right){x^2} + 1 – 2m\) Ta có: Ta kiểm tra lần lượt các phương án: \(y = m{x^3} – \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x – 3\) \(\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} – 3\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 1 \end{array} \right. \end{array}\) Các điểm cực trị (nếu có) của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) sẽ nằm trên đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{f'(x)}}{{g'(x)}}\). \(\begin{array}{l} y = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ y’ = 4{x^3} + 6x \end{array}\) Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. \(y’ = 4{x^3} + 4mx = 4x\left( {{x^2} + m} \right)\) (I), (III) là sai: Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể nhỏ hơn, lớn hơn hoặc bằng giá trị cực tiểu của nó vì tính “cực đại” hay “cực tiểu” là chỉ xét trên một “lân cận” (khoảng (x0 – h;x0 + h)) của x0, không xét trên toàn bộ tập xác định. Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) có thể lớn hơn, bằng hoặc nhỏ hơn một giá trị nào đó của hàm số trên tập xác định. Xét hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + m – 1\) Ta có: \(\begin{array}{l} y = {x^3} – 3m{x^2} + 3({m^2} – 1)x – 3{m^2} + 5\\ y’ = 3{x^2} – 6mx + 3({m^2} – 1)\\ y” = 6x – 6m \end{array}\)
Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3
B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2
C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1
D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1
Hàm số đạt cực đại tại x=1 và giá trị cực đại bằng 2.
Vậy B là phương án cần tìm.
Câu 2:
Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}{(x + 1)^2}\). Số cực trị của hàm số là
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
\(f'(x)\) không đổi dấu.
Câu 3:
Hàm số f(x) có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}{(x + 1)^2}(x + 2).\) Phát biểu nào sau đây là đúng
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2
B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -2, x = 0. Hàm số đạt cực đại tại x = – 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -2, x = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x =-1
D. Hàm số không có cực trị.
\(f'(x)\) chỉ đổi dâu một lần ta điểm có hoành độ -2.
Câu 4:
Giá trị cực đại của hàm số \(y = {x^3} – 3x + 2\) là:
A. -1
B. 1
C. 0
D. 4
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, yCĐ = 4
Câu 5:
Cho hàm số có bảng biến thiên dưới đây. Phát biểu nào là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và đạt cực đại tại x = 3
B. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0
C. Giá trị cực đại của hàm số là -2
D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2 và đạt cực tiểu tại x = 0
Câu 6:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{2}{x^4} – 2{x^2} – 3\) là:
A. (0;-3)
B. 0
C. \((\sqrt{-2};-5);(\sqrt{2};-5)\)
D. -3
Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ = -3
Vậy điểm cực đại là (0;-3)
Câu 7:
Cho hàm số \(y = (x – 5)\sqrt[3]{{{x^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2
D. Hàm số không có cực đại
\(y’ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + (x – 5).\dfrac{2}{{3\sqrt[3]{x}}} = \dfrac{{5(x – 2)}}{{3\sqrt[3]{x}}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=0, đạt cực tiểu tại x=2.
Câu 8:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = – \dfrac{1}{3}{x^3} – x + 7\) là ?
A. 1
B. 0
C. 3
D. 2
Câu 9:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m – 1} \right){x^2} + 1 – 2m\) có đúng một cực trị.
A. \(m \ge 1\)
B. \(m \le 0\)
C. \(0 \le m \le 1\)
D. \(m \le 0 \vee m \ge 1\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 2m{x^2} + m – 1 = 0\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)
Hàm số chỉ có một cực trị \(\Leftrightarrow \left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow \Delta \le 0 \Leftrightarrow – 2m\left( {m – 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow m \le 0 \vee m \ge 1\)
Câu 10:
Tìm giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} – 3m{{\rm{x}}^2} + \left( {2m + 1} \right)x – 2\) đạt cực trị tại x = 1.
A. m=1
B. m=-1
C. m=2
D. Không tồn tại m.
\(y’ = 3{x^2} – 6mx + \left( {2m + 1} \right)\)
\(y’\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow 3 – 6m + 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Thử lại với m=1 ta có: \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 2\)
\(\Rightarrow y’ = 3{\left( {x – 1} \right)^2}\) không đổi dấu khi qua điểm 1 nên 1 không là cực trị của hàm số. Vậy đáp án của bài toán này là không tồn tại m và đáp án đúng là D.
Câu 11:
Cho hàm số \(y = \left| x \right|\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
A. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nên không đạt cực tiểu tại x=0.
B. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
C. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nên đạt cực tiểu tại x=0.
D. Hàm số có đạo hàm tại x=0 nhưng không đạt cực tiểu tại x=0.
Ta có: \(y’ = \sqrt {{x^2}} = \dfrac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}\) => Hàm số không có đạo hàm tại x=0.
Hàm số này không có đạo hàm tại x=0.
Tuy nhiên ta thấy hàm số vẫn đạt cực tiểu tại x=0.
Nên đáp án B đúng.
Câu 12:
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = {x^4} – 2{x^2} + 2\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=1
C. yCĐ=-1
D. yCĐ=0
Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại yCĐ=2.
Câu 13:
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {2m – 1} \right)x – 1\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. \(\forall m < 1\) thì hàm số có hai cực trị
B. Hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu.
C. \(\forall m \ne 1\) thì hàm số có cực đại và cực tiểu.
D. \(\forall m > 1\) thì hàm số có cực trị.
\(y’ = {x^2} + 2mx + 2m – 1\).
Xét phương trình y’=0, ta cùng nhớ lại bảng các dạng đồ thị của hàm số bậc ba ở trang 35 sách giáo khoa cơ bản. Nhận thấy ở tất cả các mệnh đề đều nói là hàm số có cực trị, nghĩa là trước tiên ta cần đi tìm điều kiện để hàm số có cực trị là điều kiện chung. Để đồ thị hàm số bậc ba có cực trị thì phương trình y’=0 phải có hai nghiệm phân biệt. Khi đó: \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\). Từ đây ta thấy mệnh đề C đúng, cả A và D cũng đúng. Vậy mệnh đề sai là B.
Câu 14:
Đồ thị hàm số \(y = – {x^3} + 6{x^2} – 13x + 6\) có mấy điểm cực trị?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Ta có \(y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 12x – 13 = 0\,\left( {VN} \right)\).
Vậy đồ thị hàm số không có điểm cực trị.
Câu 15:
Với giá trị nào của thì đường thẳng \(y = x + m\) đi qua trung điểm của đoạn nối 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 6{x^2} + 9x\)?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
\(y’ = 3{x^2} – 12x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3}\\ {x = 1} \end{array}} \right. \Rightarrow\)hoành độ trung điểm của 2 điểm cực trị là x0=2
\(\Rightarrow M\left( {2;2} \right)\) là trung điểm của 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
Thay vào phương trình đường thẳng ta được \(2 = 2 + m \Leftrightarrow m = 0\).
Câu 16:
Tìm giá trị cực đại yCĐ của hàm số \(y = \dfrac{{{x^4}}}{4} – 2{x^2} + 6\).
A. yCĐ=2
B. yCĐ=6
C. yCĐ \(\in \left\{ {2;6} \right\}\)
D. yCĐ=0
\(y’ = {x^3} – 4x = x\left( {{x^2} – 4} \right)\)
\(y’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 0;{x_2} = 2;{x_3} = – 2\)
\(y” = 3{x^2} – 4\)
\(y”\left( { \pm 2} \right) = 8 > 0\) nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.
\(y”\left( 0 \right) = – 4 < 0\) nên x=0 là điểm cực đại.
Kết luận: hàm số đạt cực đại tại xCĐ=0 và yCĐ=6. Vậy đáp án đúng là đáp án B.
Câu 17:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f’\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {2x – 1} \right)^3}\). Hỏi hàm số f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 2
Vậy hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.
Câu 18:
Cho hàm số \(y= {x^3} + 3{x^2} + mx + m – 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
A. \(m \le 0\)
B. \(m < 3\)
C. \(m \ge 0\)
D. \(m < 0\)
Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phiá trục tung thì phương trình y’=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Điều này xảy ra khi: \({x_1}.{x_2} < 0 \Rightarrow \dfrac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\).
Câu 19:
Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = – {x^3} + \left( {m + 3} \right){x^2} – \left( {{m^2} + 2m} \right)x – 2\) đạt cực đại tại x=2
A. \(m \in \left\{ {0;2} \right\}\)
B. \(m \in \left\{ {1;2} \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {0;3} \right\}\)
D. \(m \in \left\{ {5;2} \right\}\)
\(y’ = – 3{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x – \left( {{m^2} + 2m} \right);y” = – 6x + 2\left( {m + 3} \right)\)
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \(x = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y’\left( 2 \right) = 0\\ y”\left( 2 \right) < 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 12 + 4\left( {m + 3} \right) – {m^2} – 2m = 0\\ – 12 + 2m + 6 < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {m^2} – 2m = 0\\ m < 3 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\).
Thử lại:
m=0 ta có:
m=2 thỏa yêu cầu bài toán.
Kết luận : Giá trị m cần tìm là m=2
Chọn đáp án A.
Câu 20:
Tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 5{x^2} + 7x – 3\).
A. \(\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{{32}}{{27}}} \right)\)
B. \(\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{{ – 32}}{{27}}} \right)\)
C. \(\left( {1;0} \right)\)
D. \(\left( {0; – 3} \right)\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{7}{3} \Rightarrow y = – \dfrac{{32}}{{27}}\\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \end{array} \right.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{7}{3}\), giá trị cực đại \(y = \dfrac{{ – 32}}{{27}}\).
Câu 21:
Cho hàm số \(y = m{x^4} – (m – 1){x^2} – 2\). Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
A. \(m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)
B. \(m \in \left( {0;1} \right)\)
C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)
D. \(m \in ( – \infty ;0) \cup (1; + \infty )\)
\(y’ = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y’= 0 \Leftrightarrow 2x(2a{x^2} + b) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = – \dfrac{b}{{2a}}(*) \end{array} \right.\)
Hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt.
Để phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, điều này xảy ra khi \(\dfrac{b}{{2a}} < 0\).
Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \dfrac{{ – \left( {m – 1} \right)}}{m} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < 0 \end{array} \right. \end{array} \right.\)
Câu 22:
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, chọn Câu khẳng định ĐÚNG ?
A. Hàm số có 2 cực trị
B. Hàm số có 1 cực trị
C. Hàm số không có cực trị
D. Hàm số không xác định tại x=3
Vậy hàm số có 1 cực trị.
Câu 23:
Hàm số \(y = – \dfrac{1}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}a{x^2} + bx + \dfrac{1}{3}\) đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2. Tính tổng a+b khi đó?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
\(\begin{array}{l} {y^/} = – {x^2} + ax + b\\ {y^{//}} = – 2x + a \end{array}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} {y^/}(1) = 0\\ {y^{//}}(1) < 0\\ y(1) = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 + a + b = 0\\ – 2 + a < 0\\ \dfrac{1}{2}a + b = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 2\\ b = 3\\ a < 2 \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = – 2\\ b = 3 \end{array} \right.\)
Kiểm tra lại ta thấy giá trị a và b tìm được hoàn toàn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy a+b=1.
Câu 24:
Cho hàm số \(y = {x^4} – 2m{x^2} + 2m + {m^4}\). Với giá trị nào của m thì đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) có 3 điểm cực trị, đồng thời 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.
A. \(m = \sqrt[5]{{16}}\)
B. \(m = 16\)
C. \(m = \sqrt[3]{{16}}\)
D. \(m = – \sqrt[3]{{16}}\)
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \(y’=0\) phải có 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi đó đồ thị hàm số luôn có ba điểm cực trị \(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right);C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\) với B và C đối xứng nhau qua Oy, hay đường thẳng BC song song hoặc trùng với trục hoành (y=0).
Suy ra: phương trình đường thẳng BC có dạng: y+a=0
Ta có: \({y_B} = {y_C} = f\left( {\sqrt m } \right) = f\left( { – \sqrt m } \right)\)
\(= {m^2} – 2{m^2} + 2m + {m^4} = {m^4} – {m^2} + 2m\)
Suy ra phương trình BC là: \(y – ({m^4} + {m^2} + 2m) = 0\)
Khi đó:
\(d\left( {A;BC} \right) = \left| {2m + {m^4} – \left( {{m^4} + 2m – {m^2}} \right)} \right| = \left| {{m^2}} \right| = {m^2}\)
Như vậy rõ ràng
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.d\left( {A;BC} \right).BC\)
\(= \dfrac{1}{2}.{m^2}.2\sqrt m = 4 \Rightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\)
Câu 25:
Cho hàm số \(y = x – {e^x}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x=0
B. Hàm số đạt cực đại tại x=0
C. Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
D. Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có:
Ta thấy y’ đổi dấu từ (+) sang (-) khi x đi qua điểm 0 nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x=0 nên B đúng.
C và D sai vì:
Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\)
Hàm số có tập xác định là D=R
Câu 26:
Tìm tọa độ diểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = x – 5 + \dfrac{1}{x}\) .
A. -1
B. (1;-3)
C. -7
D. (-1;-7)
Hàm số \(y = x – 5 + \dfrac{1}{x}\) có đạo hàm \(y’ = 1 – \dfrac{1}{{{x^2}}}\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
đổi dấu từ (+) sang (-) tại x=1 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là: (1; -3)
Câu 27:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = m{x^4} + \left( {m – 1} \right){x^2} + 1 – 2m\) có ba điểm cực trị.
A. \(1 < m < 2\)
B. \(- 1 < m < 0\)
C. \(m > 1\)
D. \(0 < m < 1\)
\(y’ = 4m{x^3} + 2\left( {m – 1} \right)x\)
\(y’ = 0 \leftrightarrow x\left( {4m{x^2} + 2m – 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 4m{x^2} + 2m – 2 = 0\,\left( I \right) \end{array} \right.\)
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi (I) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\left\{ \begin{array}{l} 4m{.0^2} + 2m – 2 \ne 0\\ m \ne 0\\ \dfrac{{2 – 2m}}{m} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 1\\ m \ne 0\\ 0 < m < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1\)
Câu 28:
Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a > 0;b > 0} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0
B. 2
C. 1
D. 3
\(y’ = 4a{x^3} + 2bx\)
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0\)
Do \(a > 0;b > 0\) nên phương trình \(y’=0\) chỉ có một nghiệm duy nhất.
Do đó đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị.
Câu 29:
Hàm số nào sau đây không có cực trị?
A. \(y = {x^3} – 3x\)
B. \(y = {x^3} – 3x^2\)
C. \(y = {x^4} – 2{x^2}\)
D. \(y = 3{x^3}\)
+ Với phương án C, hàm số bậc bốn trùng phương luôn có tối thiểu một điểm cực trị.
+ Với phương án A, C, D hàm số bậc ba có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Kiểm tra ta thấy hàm số \(y = 3{x^3}\) có \(y’ = 9{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số không có cực trị.
Vậy D là phương án cần tìm.
Câu 30:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m{x^3} – \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2x – 3 đạt cực tiểu tại x=1.
A. \(m = 0\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = -2\)
D. \(m = \dfrac{3}{2}\)
\(\begin{array}{l} y’ = 3m{x^2} – 2({m^2} + 1)x + 2\\ y” = 6mx – 2({m^2} + 1) \end{array}\)
\(y'(1) = 0 \Leftrightarrow 3m – 2({m^2} + 1) + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{m^2} – 3m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = \dfrac{3}{2} \end{array} \right.\)
Với m=0:
\(y”(1) = – 2 < 0\)
Vậy m=0 không thỏa yêu cầu bài toán.
Với \(m = \dfrac{3}{2}\):
\(y”(1) = \dfrac{5}{2} > 0\).
Thử lại ta thấy với \(m = \dfrac{3}{2}\) hàm số đạt cực tiểu tại x=1.
Câu 31:
Tìm giá trị cực đại \(y_{CD}\) của hàm số \(y = {x^3} – 3x – 2\).
A. \({y_{CD}} = 0\)
B. \({y_{CD}} = 4\)
C. \({y_{CD}} = -1\)
D. \({y_{CD}} = 1\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại x=-1, giá trị cực đại là \(y_{CD}=y(-1)=0\).
Câu 32:
Tìm giá trị của m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\) bằng 10.
A. m=2
B. m=1
C. m=3
D. m=4
\(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + mx}}{{1 – x}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có \(f’\left( x \right) = \dfrac{{ – {x^2} + 2x + m}}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} – 2x – m = 0\,\,(*) \end{array} \right.\)
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 hay:
\(\left\{ \begin{array}{l} \Delta = 1 + m > 0\\ {1^2} – 2.1 – m \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > – 1\)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
\(y = \dfrac{{\left( {{x^2} + mx} \right)’}}{{(1 – x)’}} = \dfrac{{2x + m}}{{ – 1}} = – 2x – m\)
Gọi \(A\left( {{x_1}; – 2{x_1} – m} \right);\,B\left( {{x_2}; – 2{x_2} – m} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Theo định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}{x_2} = – m \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} AB = 10 \Rightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} + {\left( {2{x_1} – 2{x_2}} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} – {x_2}} \right)^2} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 20 \Rightarrow {2^2} – 4( – m) = 20 \Leftrightarrow m = 4 \end{array}\)
Câu 33:
Tìm các điểm cực tiểu của hàm số \(y = {x^4} + 3{x^2} + 2\).
A. x=-1
B. x=0
C. x=5
D. x=1;x=2
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vì phương trình \(y’ = 0\) có 1 nghiệm và hệ số của \(x^4\) dương nên x=0 là điểm cực tiểu.
Câu 35:
Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{{x^3}}}{3} – \left( {m – 1} \right){x^2} + {m^2}x + 5\) có 2 điểm cực trị.
A. \(2 \le m \le 3\)
B. \(m<\dfrac{1}{2}\)
C. \(m>\dfrac{1}{3}\)
D. \(m=1\)
Ta có:\(y’ = {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + {m^2}\)
\(\Delta ‘ = – 2m + 1\)
Phương trình y’ = 2 có 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{2}\)
Câu 36:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 1\) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
A. \(m = 1\)
B. \(m = -1\)
C. \(m = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
D. \(m =- \dfrac{1}{{\sqrt[3]{9}}}\)
Đề phương trình \(y’ = 0\) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình \({x^2} = – m\) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay m<0 nên ta loại ngay A,C.
Đến đây ta có thể thử từng giá trị của 2 đáp án còn lại.
m = -1 thỏa yêu cầu bài toán.
Giải chi tiết như sau:
Với m<0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị có tọa độ:
\(A(0;1);\,B( – \sqrt { – m} ;1 – m);\,C\left( {\sqrt { – m} ;1 – m} \right)\)
Đường thẳng BC song song với trục hoành nên: \(BC = \left| {{x_B} – {x_C}} \right| = 2\sqrt { – m}\)
Gọi I là trung điểm của BC \(\Rightarrow I\left( {0;1 – m} \right)\)
AI song song với trục Oy nên: \(AI = \left| {{y_A} – {y_I}} \right| = – m\)
Tam giác ABC vuông khi \(AI = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow – m = \sqrt { – m} \Leftrightarrow m = – 1\) (do m<0)
Câu 37:
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số).
(I): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó.
(II): Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) luôn có ít nhất một cực trị
(III): Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định.
(IV): Hàm số y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0,ad – bc \ne 0} \right) không có cực trị.
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
(II) đúng: Hàm số bậc 4 trùng phương luôn có ít nhất một cực trị tại điểm x=0.
(IV) đúng: Hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {c \ne 0;ad – bc \ne 0} \right)\) không có cực trị vì đạo hàm \(y’ = \dfrac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\) luôn âm hoặc luôn dương trên tập xác định.
Câu 38:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m – 1 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
A. m=3
B. m=0
C. m>0
D. \(m = \sqrt[3]{3}\)
\(\begin{array}{l} y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x({x^2} – m)\\ y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = m\,(*) \end{array} \right. \end{array}\)
Đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y’=0\) có ba nghiệm phân biệt.
Phương trình \(y’=0\) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Điều này xảy ra khi m>0.
Khi m>0, ta có 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số:
\(A(0;m – 1),\,B( – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1),\,C( – \sqrt m ; – {m^2} + m – 1)\)
Ta có tam giác ABC cân tại A.
Vậy ABC đều khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l} AB = BC \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt m } \right)}^2} + {m^4}} = 2\sqrt m \\ \Leftrightarrow m + {m^4} = 4m \Leftrightarrow m({m^3} – 3) = 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}\,(m > 0) \end{array}\)
Câu 39:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = {x^3} – 3{x^2} + m có hai cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành.
A. 0 < m < 2
B. m < 0
C. m > 2
D. 0 < m < 4
\(\begin{array}{l} y’ = 3{x^2} – 6x\\ y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu tại hai điểm \({M_1}\left( {0;m} \right),\,{M_2}\left( {2;m – 4} \right)\).
Để đồ thị hàm số hai điểm cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là trục hoành thì giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số phải trái dấu nhau hay: \(m.(m – 4) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4\).
Câu 40:
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-3m{x^2} + 3\left( {{m^2}-{\rm{ }}1} \right)x-3{m^2}{\rm{ + }}5\) đạt cực đại tại x = 1.
A. m=0 hoặc m=2
B. m=2
C. m=1
D. m=0
\(y'(1) = 0 \Rightarrow 3 – 6m + 3({m^2} – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 2 \end{array} \right.\)
Với m=0, \(y”(1) = 6 > 0\) (loại)
Với m=2, \(y”(1) = – 6 < 0\).
Đến đây ta cần thử lại xem với m=2 hàm số có đạt cực đại tại x=1 hay không mới có thể kết luận. Tuy nhiên đây là bài toán trắc nghiệm, không có phương án không tồn tại giá trị m nên ta có thể chọn ngay phương án B.