Bài tập viết phương trình mạch LC

1. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG

Ta có:

– Phương trình điện tích trên hai bản tụ điện: \(q{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _q}} \right)\)

– Phương trình điện áp giữa hai bản tụ điện: \(u = \dfrac{{{Q_0}}}{C}cos\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right){\rm{ }} = {U_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _u}} \right)\)

– Phương trình điện áp dòng điện chạy trong mạch: \(i = q’ = – {Q_0}\omega sin{\varphi _q} = {I_0}cos\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right)\)

Trong đó:

• Dòng điện, điện áp và điện tích luôn dao động cùng tần số với nhau
• Điện áp và điện tích luôn dao động cùng pha: \({\varphi _q} = {\varphi _u}\)
• Dòng điện trong mạch dao động nhanh pha\(\dfrac{\pi }{2}\) so với điện tích (điện áp) trong mạch: \({\varphi _i} = {\varphi _q} + \dfrac{\pi }{2} = {\varphi _u} + \dfrac{\pi }{2}\)

Các bước viết phương trình dao động:

• Bước 1: Xác định biên Q₀, U₀, I₀ (tùy yêu cầu của đề bài)
• Bước 2: Xác định tần số góc: \(\omega = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi f = \dfrac{{{I_0}}}{{{Q_0}}}\)
• Bước 3: Xác định pha ban đầu φ

tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}q = {Q_0}{\rm{cos}}\varphi \\i =  – {I_0}\omega {\rm{sin}}\varphi \\u = {U_0}{\rm{cos}}\varphi \end{array} \right. \to \varphi \)

(Ta chỉ cần 2 dữ kiện q và i hoặc i và u để xác định φ)

• Bước 4: Viết phương trình dao động

Lưu ý: Các bước có thể đổi vị trí cho nhau

Ví dụ:

Hướng dẫn:

Cường độ dòng điện cực đại: \({I_0} = {Q_0}\omega  = {2,5.10^{ – 6}}{.2.10^3}\pi  = {5.10^{ – 3}}\pi A = 5\pi {\rm{ }}mA\)

\({\varphi _i} = {\varphi _q} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{5\pi }}{6}\)

\( \to i = 5\pi c{\rm{os(2}}{\rm{.1}}{{\rm{0}}^3}\pi t + \dfrac{{5\pi }}{6}){\rm{ mA}}\)

Hướng dẫn:

Tần số góc của mạch dao động: \(\omega  = \dfrac{1}{{\sqrt {LC} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {{{4.10}^{ – 4}}{{.5.10}^{ – 12}}} }} = {10^7}rad/s\)

Điện tích cực đại giữa hai bản tụ điện: \({Q_0} = \dfrac{{{I_0}}}{\omega } = \dfrac{{{{20.10}^{ – 3}}}}{{{{10}^7}}} = {2.10^{ – 9}}C = 2{\rm{ }}nC\)

Tại \(t = 0,{\rm{ }}i = {I_0}cos{\varphi _i} = {I_0} =  > {\rm{ }}{\varphi _i} = {\rm{ }}0\)

=>\({\varphi _u} = {\varphi _i} – \dfrac{\pi }{2} =  – \dfrac{\pi }{2}\)\(\)

\( \to q = 2c{\rm{os(1}}{{\rm{0}}^7}t – \dfrac{\pi }{2}){\rm{ }}nC\)

2. THỜI ĐIỂM ĐIỆN TÍCH TRÊN TỤ BIẾN THIÊN TỪ Q₁ ĐẾN Q₂.

(Tương tự bài toán xác định thời gian vật chuyển động từ vị trí có li độ x₁ đến vị trí có li độ x₂ trong dao động điều hòa)

Phương pháp: Sử dụng vòng tròn lượng giác và công thức \(\Delta t = \dfrac{{\Delta \varphi }}{\omega }\)

• Bước 1: Xác định vị trí q₁ và q₂ trên vòng tròn lượng giác
• Bước 2: Xác định vị trí góc quay khi điện tích biến thiên từ giá trị q₁ đến giá trị q₂
• Bước 3: Áp dụng công thức: \(\Delta t = \dfrac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \dfrac{{T\Delta \varphi }}{{2\pi }}\)