Tiệm cận của hàm số là gì? Cách tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang sẽ được trình bày chi tiết trong bài giảng này.
I – Tiệm cận của hàm phân thức
Xét hàm số: $y = f(x) = \dfrac{{u(x)}}{{v(x)}}$
1. Tiệm cận đứng hàm số:
- Bước 1 : Giải phương trình u(x) = 0 $ \Leftrightarrow x \in \left\{ {{x_1},{x_2},..,{x_n}} \right\}$
- Bước 2 : Nếu $\left\{ \begin{array}{l} u({x_k}) \ne 0\\ v({x_k}) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_k}} \dfrac{{u(x)}}{{v(x)}} = \infty \Leftrightarrow x = {x_k}$ là tiệm cận đứng
2. Tiệm cận ngang hàm số
- Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD}}:\,\,\,{\rm{ }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) }} \le {\rm{ Deg(v(x)) }} \end{array} \right.$
- Bước 2 : Xét giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{u(x)}}{{v(x)}} = b \Leftrightarrow y = b$ là tiệm cận ngang
3. Tiệm cận xiên hàm số
- Bước 1: Dấu hiệu nhận biết $\left\{ \begin{array}{l} {\rm{MXD: }}\infty \\ {\rm{Deg(u(x)) = Deg(v(x)) + 1 }} \end{array} \right.$
- Bước 2 : Tìm tiệm cận
Cách 1 : Phương pháp tổng quát
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{f(x)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – ax)$ suy ra y = ax + b là tiệm cận xiên
Cách 2 :
- Bước 1 :Thực hiện phép chia đa thức $f(x) = \dfrac{{u(x)}}{{v(x)}} = ax + b + \dfrac{{{\rm{z(x)}}}}{{{\rm{v(x)}}}}{\rm{ voi Bac z(x) < Bac v(x)}}$
- Bước 2 : Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (f(x) – (ax + b)) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{{z(x)}}{{v(x)}} = 0$ suy ra y = ax +b là tiệm cận xiên
II – Tiệm cận của hàm vô tỷ chứa căn bậc hai
1. Xét hàm số $y = \sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$
Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\sqrt {a{x^2} + bx + c} – \sqrt a \left| {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right|{\rm{ }})$ = 0 nên $y = \sqrt a \left| {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right|$ là tiệm cận xiên
- Với x→+∞ ta có tiệm cận xiên bên phải $y = \sqrt a (x + \dfrac{b}{{2a}})$
- Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = – \sqrt a (x + \dfrac{b}{{2a}})$
Chú ý: Với a < 0 thì hàm số không có tiệm cận
2. Tiệm cận hàm số $y = mx + n + p\sqrt {a{x^2} + bx + c} {\rm{ }}(a > 0)$ là $y = mx + n + p\sqrt a \left| {x + \dfrac{b}{{2a}}} \right|$
- Với x→+∞ Ta có tiệm cận xiên bên phải $y = mx + n + p\sqrt a (x + \dfrac{b}{{2a}})$
- Với x→-∞ ta có tiệm cận xiên bên trái $y = mx + n – p\sqrt a (x + \dfrac{b}{{2a}})$
Chú ý :
- với a< 0 hàm số không có tiệm cận
- Hàm số $y = {a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n – 1}} + … + {a_1}x + {a_0}$ không có tiệm cận
BÀI TẬP TIỆM CẬN HÀM SỐ
Câu 1: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = $\dfrac{{3x – 1}}{{x + 1}}$
[A]. y=-1
[B]. y=3
[C]. x=-1
[D]. x=2
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x – 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1
Câu 2: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{3x – 1}}{{x + 1}}.$
[A]. $x = – 1;\,y = 3$
[B]. $y = 2;\,x = – 1$
[C]. $x = \dfrac{1}{3};\,y = 3$
[D]. $y = – 1;\,x = 3$
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}},(c \ne 0,ad – bc \ne 0)$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=-\dfrac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $x=-\dfrac{a}{c}.$
Vậy đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng x=–1, y=3.
Câu 3: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số$y = \dfrac{{2x – 1}}{{x + 2}}$
Hàm số đã cho có tập hợp xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2} \right\}$
Vì $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to +\infty }$ và $\mathop {\lim y=2}\limits_{x \to -\infty }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị (khi $x \rightarrow + \infty $ và khi $x \rightarrow – \infty $)
Vì $\mathop {\lim y=- \infty }\limits_{x \to (-2)^{+} }$ và $\mathop {\lim y=+ \infty }\limits_{x \to (-2)^{-} }$ nên đường thẳng $y=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị (khi $x \rightarrow (-2)^{-} $ và khi $x \rightarrow (-2)^{+} $)
Câu 4: Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+2}}{x}\)
TXĐ: D = R \ {0}
\(\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left ( \dfrac{\sqrt[\left | x \right |]{1+\dfrac{2}{x^2}}}{x} \right )=\lim_{x\rightarrow +\infty } \bigg(\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}}\bigg)=1\)
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( -\sqrt{1+\dfrac{2}{x^2}} \right )=-1\)
Các đường thẳng: y = ± 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty ;\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty\)
+ Đường thẳng x = 0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 5: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3x-1}{2x+5}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{3x-1}{2x+5} = \lim_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{3-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{5}{x}} = \dfrac{3}{2}\)
Vậy \(y = \dfrac{3}{2}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\dfrac{5}{2}} y = -\infty\)
Vậy \(x = -\dfrac{5}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Câu 6: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{4x + 5}{3x – 1}\)
\(\lim_{x \rightarrow -\infty } y = \lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{4x + 5}{3x – 1} = \lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{4 + \dfrac{5}{x}}{3-\dfrac{1}{x} }= \dfrac{4}{3}\)
Vậy \(y = \dfrac{4}{3}\) là đường tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow \dfrac{1}{3}^-} = – \infty\)
Vậy \(y = \dfrac{1}{3}\) là đường tiệm cận đứng.
Câu 7: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(f(x) = \dfrac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{2 + \dfrac{9}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} + 3 + \dfrac{5}{x}}\left ( \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2}} (\ do\ x > 0)= \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} \right )\)
\(=\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(y = \dfrac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
\(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{2x + 9}{\sqrt{x^2 + 1} + 3x + 5}\)
\(= \lim_{x\rightarrow -\infty } \dfrac{2 + \dfrac{9}{x}}{-\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} + 3 + \dfrac{5}{x}}\)
\(= \dfrac{2}{-1 + 3} = 1\)
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang.
Câu 8: Tìm m để đồ thị ham số \(y = \dfrac{(2m + 3)x + 5}{3x – 1}\) có tiệm cận ngang y = 2.
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } y = \lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{(2m + 3)x + 5}{3x – 1}\)
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } \dfrac{2m + 3 + \dfrac{5}{x}}{3 – \dfrac{1}{x}}\)
\(= \dfrac{2m+3}{3}\)
Vậy \(y= \dfrac{2m+3}{3}\) là tiệm cận ngang.
y = 2 là đường tiệm cận ngang khi \(\dfrac{2m+3}{3} = 2\)
⇔ 2m + 3 = 6
⇔ 2m = 3
\(\Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)
Câu 9: Tìm m để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{4x + 6}{(2m+1)x + 1}\) không có tiệm cận.
TH1: \(2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{2}\)
Khi đó y = 4x + 6
Vậy \(m = -\dfrac{1}{2}\) thỏa mãn
TH2: 2m + 1 ≠ 0
\((2m + 1)x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2m+1}\)
\(I=\lim_{x \rightarrow {-\dfrac{1}{2m+1}}^+} \dfrac{4x + 6}{(2m + 1)x + 1}\)
\(I = \lim_{x \rightarrow {-\dfrac{1}{2m+1}}^+} (4x + 6) = 4.\left ( -\dfrac{1}{2m+1} \right ) + 6\)
\(= \dfrac{-4 + 12m + 6}{2m + 1} = \dfrac{12m + 2}{2m + 1}\)
12m + 2 ≠ 0 thì \(I = \pm \infty\)
12m + 2 = 0 ⇔ \(m = – \dfrac{1}{6}\) thì \(y = \dfrac{4x + 6}{\left ( -\dfrac{1}{3} + 1 \right )x + 1} = 6\)
\(m = – \dfrac{1}{6}\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left \{ -\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{6} \right \}\)
-
Bài tập cực trị chuyên đề khảo sát hàm số(Opens in a new browser tab)
- Bài tập tiếp tuyến, sự tiếp xúc của hai đường cong
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số