Đại cương về hàm số
1. KĐại cương về hàm số
a. Định nghĩa
Cho \(D \subset \mathbb{R},D \ne \emptyset \). Hàm số \(f\) xác định trên $D$ là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số \(x \in D\) với một và chỉ một số \(y \in \mathbb{R}\).
\(x\) được gọi là biến số (đối số), \(y\) được gọi là giá trị của hàm số $f$ tại $x$.
Kí hiệu: $y = f\left( x \right)$.
\(D\) được gọi là tập xác định của hàm số \(f\).
Tập xác định của hàm số $y = f\left( x \right)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa.
b. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm \(M\left( {x;f(x)} \right)\) trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x \in D$.
Ta thường gặp đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là một đường. Khi đó ta nói $y = f\left( x \right)$ là phương trình của đường đó.
c. Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số \(f\) xác định trên \(K\).
– Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)
– Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in K:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)
d. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định $D$.
– Hàm số \(f\) được gọi là hàm số chẵn nếu với \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và $f\left( {-x} \right) = f\left( x \right)$
– Hàm số \(f\) được gọi là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\) thì \( – x \in D\) và $f\left( {-x} \right) = – f\left( x \right)$
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
e. Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ
Định lý: Cho \(\left( G \right)\) là đồ thị của $y = f\left( x \right)$ và \(p > 0,\,\,q > 0\); ta có
Tịnh tiến \(\left( G \right)\) lên trên $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right) + q$
Tịnh tiến \(\left( G \right)\) xuống dưới $q$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( x \right)-q$
Tịnh tiến \(\left( G \right)\) sang trái $p$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x + p} \right)$
Tịnh tiến \(\left( G \right)\) sang phải $p$ đơn vị thì được đồ thị $y = f\left( {x-p} \right)$
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp giải:
Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa
Nếu \(P(x)\) là một đa thức thì:
+ \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P(x) \ne 0\)
+ \(\sqrt {P(x)} \) có nghĩa\( \Leftrightarrow P(x) \ge 0\)
+ \(\dfrac{1}{{\sqrt {P(x)} }}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P(x) > 0\)
Dạng toán 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Phương pháp giải:
Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(D\):
\( \bullet {\rm{ }}\)Hàm số chẵn \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\\f( – x) = f(x)\end{array} \right.\)
\( \bullet {\rm{ }}\)Hàm số lẻ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\\f( – x) = – f(x)\end{array} \right.\)
+) Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ
+) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng
+) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng
* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Kiểm tra
– Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow – x \in D\) chuyển qua bước ba.
– Nếu \(\exists {x_0} \in D \Rightarrow – {x_0} \notin D\) kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
Bước 3: Xác định $f\left( { – x} \right)$ và so sánh với$f\left( x \right)$.
– Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn
– Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ
– Nếu tồn tại một giá trị \(\exists {x_0} \in D\) mà \(f\left( { – {x_0}} \right) \ne f\left( {{x_0}} \right),\,\,f\left( { – {x_0}} \right) \ne – f\left( {{x_0}} \right)\) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Dạng toán 3: Xét tính đồng biến, nghịch biến (đơn điệu) của hàm số trên một khoảng
Phương pháp giải.
Cách 1: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên $K$. Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} < {x_2}\), đặt \(T = f({x_2}) – f({x_1})\)
+) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
Cách 2: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên $K$. Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} \ne {x_2}\), đặt \(T = \dfrac{{f({x_2}) – f({x_1})}}{{{x_2} – {x_1}}}\)
+) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\).
+) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\).
Dạng toán 4: Đồ thị của hàm số và tịnh tiến đồ thị hàm số
Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa điểm thuộc đồ thị hàm số và định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số.