1. Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
– Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
– TXĐ: \(D = R\).
b. Đồ thị hàm số bậc hai
– Có dáng là đường Parabol có đỉnh \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; – \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right),\Delta = {b^2} – 4ac\).
– Trục đối xứng là đường thẳng \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\).
– Bề lõm hướng lên trên khi \(a > 0\) và hướng xuống dưới khi \(a < 0\)
– Cách vẽ:
+) Xác định đỉnh \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; – \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\).
+) Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm của parabol.
+) Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng).
+) Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại.
2. Sự biến thiên của hàm số bậc hai
– Nếu \(a > 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { – \infty ; – \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTNN trên \(R\) tại \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\).
– Nếu \(a < 0\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { – \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), đồng biến trên \(\left( { – \infty ; – \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), đạt được GTLN trên \(R\) tại \(x = – \dfrac{b}{{2a}}\).
3. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Nhận dạng hàm số bậc hai, xác định các yếu tố liên quan trong đồ thị hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng dạng của hàm số bậc hai, các kiến thức về đỉnh parabol, trục đối xứng, điểm đi qua,…
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức về GTLN, GTNN của hàm số bậc hai khi hệ số \(a > 0,a < 0\).
Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp:
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số bậc hai.