Lý thuyết về mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, hiểu được mối liên hệ này chúng ta có thể hiểu được tại sao dao động động điều hòa có tần số góc là ω, tại sao chu kỳ của dao động điều hòa lại là T = 2π/ω
Liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Hình ảnh minh họa cho chuyển động tròn đều và dao động điều hòa
Hình chiếu của điểm M là điểm P, khi điểm M chuyển động tròn đều, ta thấy điểm P dịch chuyển trên một đoạn thẳng = bán kính đường tròn. Cách chuyển động của điểm P tương đương với dao động điều hòa của chất điểm P trên trục Ox với O là vị trí cân bằng, biên độ = bán kính của đường tròn.
Chứng minh mối liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Xét một vật chuyển động tròn đều với tốc độ góc là ω trên quỹ đạo tròn bán kính A
Tại thời điểm ban đầu vật nằm tại vị trí điểm Mo hợp với phương ngang góc φ
Sau khoảng thời gian t vật chuyển động đến vị trí M1 góc mà nó quét được là ω.t
Hình chiếu của M1 lên phương ngang: OP = OM1.cos (ω.t + φ)
ta có: R = A = OMo = OM1 đặt OP = x = > x = Acos(ω.t + φ)
đây chính là dạng phương trình của dao động điều hòa = >
Vận dụng lý thuyết Liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Công thức tính tần số góc ω (tốc độ góc trong chuyển đôn tròn đều)
[tex]\omega = \dfrac{\Delta \varphi }{t}[/tex]
Trong đó:
- Δφ: là góc mà vật quét được khi chuyển động tròn đều
- t: khoảng thời gian vật quét được góc Δφ:
Trong khoảng thời gian một chu kỳ t = T chất điểm chuyển động tròn đều được một vòng (1 vòng = 360o = 2π)
= > [tex]\omega = \dfrac{\Delta \varphi }{t} = \dfrac{2\pi }{T}[/tex]
Công thức tính chu kỳ, tần số của dao động điều hòa:
[tex]T = \dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{1}{f}[/tex]
- T chu kỳ dao động điều hòa (s)
- f = 1/T: tần số của dao động điều hòa (Hz)
- x = Acos(ωt + φ) = > các giá trị của x nằm trên trục cos (trục nằm ngang)
- v = – ωAsin(ωt + φ) = > các giá trị của v nằm trên trục sin (trục thẳng đứng)
Tại thời điểm ban đầu t = 0 = > x = A.cosφ; v = -ωA.sinφ
cho φ các giá trị đặc biệt trong pha
φ = 0; φ = 30o = π/6; φ = 45o = π/4; φ = 60o = π/3; φ = 90o = π/2 … ta sẽ tính được các giá trị của x; v và vẽ được đường tròn pha như hình dưới.
đường tròn pha giúp giải nhanh các bài tập trắc nghiệm dao động điều hòa
Bài tập sử dụng kiến thức liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
Ví dụ 1: Xác định khoảng thời gian ngắn nhất (theo chu kỳ T) vật dao động điều hòa chuyển động từ vị trí A/2 đến vị trí -A/2.
Căn cứ vào đường tròn pha ta có: Δφ = 2π/3 – π/3 = π/3
[tex]t = \dfrac{\Delta \varphi }{\omega } = T\dfrac{\Delta \varphi }{2\pi } = \dfrac{T}{6}[/tex]
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi v$_{TB}$ là tốc độ trung bình của chất điểm trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà v ≥ (π/4)v$_{TB}$ là
A. T/2 B. T/3 C. 2T/3 D. T/6 Bài tập Liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều Vận tốc trung bình = quãng đường đi được / thời gian đi hết quãng đường đó Trong 1 chu kỳ t = T; s = 4A = > v$_{tb}$ = 4A/T = 2Aω/π = > (π/4).v$_{tb }$ = Aω/2 ứng với vị trí góc -π/6 (x = A√3/2) và -5π/6 (-A√3/2) Trong quá trình dao động điều hòa, chuyển động của vật từ biên về vị trí cân bằng là chuyển động nhanh dần (vận tốc tăng dần) = > v ≥ (π/4).v$_{tb }$tương đương với khoảng thời gian vật chuyển động từ vị trí A√3/2 đến -A√3/2 (góc quét được Δφ = 2π/3) và ngược lại từ vị trí -A√3/2 đến A√3/2 (góc quét được Δφ = 2π/3) = > t = 2. (T.Δφ/2π) = 2T/3 Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = -A/2, chất điểm có tốc độ trung bình là A. 6A/T B. 9A/2T C. 3A/2T D. 4A/T Bài tập Liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều quãng đường vật đi được: s = A + A/2 = 3A/2 thời gian vật đi quãng đường trên: t = T.Δφ/2π = T. (2π/3)/2π = T/3 vận tốc trung bình v$_{tb}$ = s/t = 9A/2T Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điề hòa theo phương trình x = 4cos([tex]\dfrac{2\pi }{3}[/tex]t) (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, thời gian chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 là A. 3015 s. B. 6030 s. C. 3016 s. D. 6031 s. Bài tập Liên hệ giữa Dao động điều hòa và chuyển động tròn đều ω = 2π/3 = > T = 2π/ω = 3(s) Tại thời điểm ban đầu t = 0 = > x = 4.cos0 = 4cm = A x = -2cm = -A/2 Trong 1 chu kỳ T chất điểm đi qua vị trí (-A/2) hai lần = > thời gian chất điểm đi qua vị trí (-A/2) trong 2010 lần là t$_{1 }$ = (2010/2).T = 3015 (s) Thời gian để chất điểm đi từ vị trí A đến vị trí -A/2 là t2 = T.Δφ/2π = T/3 = 1(s) = > thời gian chất điểm đi qua vị trí (-A/2) trong 2011 lần là t = t1 + t2 = 3016(s)