PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Câu 43. Tính \(F(x) = \int {x\sin xdx} \) bằng
[A]. \(F(x) = \sin x – x\cos x + C\).
[B]. \(F(x) = x\sin x – \cos x + C\).
[C]. \(F(x) = \sin x + x\cos x + C\).
[D]. \(F(x) = x\sin x + \cos x + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\), CALC ngẫu nhiên tại một số điểm \({x_0}\) thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng
Vậy \(F(x) = \sin x – x\cos x + C\).
[\spoiler]
Câu 44. Tính \(\int {x{{\ln }^2}xdx} \). Chọn kết quả đúng:
[A]. \(\dfrac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x – 2\ln x + 1} \right) + C\).
[B]. \(\dfrac{1}{2}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x – 2\ln x + 1} \right) + C\).
[C]. \(\dfrac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x + 2\ln x + 1} \right) + C\).
[D]. \(\dfrac{1}{2}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x + 2\ln x + 1} \right) + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần.
Phương pháp trắc nghiệm
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng:
Do đó \(\int {x{{\ln }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}{x^2}{\ln ^2}x – \dfrac{1}{2}{x^2}\ln x + \dfrac{1}{4}{x^2} + C\)=\(\dfrac{1}{4}{x^2}\left( {2{{\ln }^2}x – 2\ln x + 1} \right) + C\).
[\spoiler]
Câu 45. Tính \(F(x) = \int x \sin x\cos xdx\). Chọn kết quả đúng:
[A]. \(F(x) = \dfrac{1}{8}\sin 2x – \dfrac{x}{4}\cos 2x + C\).
[B]. \(F(x) = \dfrac{1}{4}\cos 2x – \dfrac{x}{2}\sin 2x + C\).
[C]. \(F(x) = \dfrac{1}{4}\sin 2x + \dfrac{x}{8}\cos 2x + C\).
[D]. \(F(x) = \dfrac{{ – 1}}{4}\sin 2x – \dfrac{x}{8}\cos 2x + C\).
Phương pháp tự luận: Biến đổi \(\sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x\) rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
[\spoiler]
Câu 46. Tính \(F(x) = \int {x{e^{\dfrac{x}{3}}}dx} \). Chọn kết quả đúng
[A]. \(F(x) = 3(x – 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\)
[B]. \(F(x) = (x + 3){e^{\dfrac{x}{3}}} + C\)
[C]. \(F(x) = \dfrac{{x – 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\)
[D]. \(F(x) = \dfrac{{x + 3}}{3}{e^{\dfrac{x}{3}}} + C\)
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = x,dv = {e^{\dfrac{x}{3}}}dx\).
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
[\spoiler]
Câu 47. Tính \(F(x) = \int {\dfrac{x}{{{{\cos }^2}x}}dx} \). Chọn kết quả đúng
[A]. \(F(x) = x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
[B]. \(F(x) = – x\cot x + \ln |\cos x| + C\).
[C]. \(F(x) = – x\tan x + \ln |\cos x| + C\).
[D]. \(F(x) = – x\cot x – \ln |\cos x| + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = x,dv = \dfrac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}dx\)
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\).
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
[\spoiler]
Câu 48. Tính \(F(x) = \int {{x^2}\cos x} dx\). Chọn kết quả đúng
[A]. \(F(x) = ({x^2} – 2)\sin x + 2x\cos x + C\).
[B]. \(F(x) = 2{x^2}\sin x – x\cos x + \sin x + C\).
[C]. \(F(x) = {x^2}\sin x – 2x\cos x + 2\sin x + C\).
[D]. \(F(x) = (2x + {x^2})\cos x – x\sin x + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với \(u = {x^2};dv = \cos xdx\), sau đó \({u_1} = x;d{v_1} = \sin xdx\).
Phương pháp trắc nghiệm:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng.
[\spoiler]
Câu 49. Hàm số \(F(x) = x\sin x + \cos x + 2017\) là một nguyên hàm của hàm số nào?
[A]. \(f(x) = x\cos x\).
[B]. \(f(x) = x\sin x\).
[C]. \(f(x) = – x\cos x\).
[D]. \(f(x) = – x\sin x\).
Phương pháp tự luận: Tính \(F'(x)\) có kết quả trùng với đáp án chọn.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên \({x_0}\) trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 chọn.
[\spoiler]
Câu 50. Tính \(\int {\dfrac{{1 + \ln (x + 1)}}{{{x^2}}}dx} \). Khẳng định nào sau đây là sai?
[A]. \(\dfrac{{ – 1 + \ln (x + 1)}}{x} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)
[B]. \( – \dfrac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} + \ln \left| {\dfrac{x}{{x + 1}}} \right| + C\)
[C]. \( – \dfrac{{x + 1}}{x}\left( {1 + \ln (x + 1)} \right) + \ln |x| + C\)
[D]. \( – \dfrac{{1 + \ln (x + 1)}}{x} – \ln \left| {x + 1} \right| + \ln \left| x \right| + C\)
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = 1 + \ln (x + 1);dv = – \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\) hoặc biến đổi rồi đặt \(u = \ln (x + 1);dv = = – \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa.
[\spoiler]
Câu 51. Tính \(F\left( x \right) = \int {(2x – 1){e^{1 – x}}dx} = {e^{1 – x}}(Ax + B) + C\). Giá trị của biểu thức \(A + B\) bằng:
[A]. – 3 .
[B]. 3.
[C]. 0.
[D]. 5.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng.
Do đó \(F(x) = – (2x – 1){e^{1 – x}} – 2{e^{1 – x}} + C = {e^{1 – x}}( – 2x – 1) + C\).
Vậy \(A + B = – 3\).
[\spoiler]
Câu 52. Tính \(F(x) = \int {{e^x}\cos xdx} = {e^x}(A\cos x + B\sin x) + C\). Giá trị của biểu thức \(A + B\) bằng
[A]. 1.
[B]. -1.
[C]. 2.
[D]. -2.
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
Do đó \(F(x) = {e^x}\sin x + {e^x}\cos x – F(x) + {C_1}\) hay \(F(x) = \dfrac{1}{2}\left( {{e^x}\sin x + {e^x}\cos x} \right) + C\).
Vậy \(A + B = 1\).
[\spoiler]
Câu 53. Tính \(F(x) = \int {2x{{(3x – 2)}^6}dx} = A{(3x – 2)^8} + Bx{(3x – 2)^7} + C\). Giá trị của biểu thức \(12A + 11B\) là
[A]. 1.
[B]. -1.
[C]. \(\dfrac{{12}}{{11}}\).
[D]. \( – \dfrac{{12}}{{11}}\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng
Do đó \(F(x) = \dfrac{2}{{21}}x{(3x – 2)^7} – \dfrac{1}{{252}}{(3x – 2)^8} + C\). Vậy \(12A + 11B = 1\).
[\spoiler]
Câu 54. Tính \(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x – 1} dx} = a{x^2}(x – 1)\sqrt {x – 1} + bx{(x – 1)^2}\sqrt {x – 1} + c{(x – 1)^3}\sqrt {x – 1} + C\). Giá trị của biểu thức \(a + b + c\) bằng:
[A]. \(\dfrac{2}{7}\)
[B]. \(\dfrac{{ – 2}}{7}\)
[C]. \(\dfrac{{142}}{{105}}\)
[D]. \(\dfrac{{ – 142}}{{105}}\)
Phương pháp tự luận:
Đặt \(u = {x^2},dv = \sqrt {x – 1} dx\) ta được
\(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x – 1} dx} = \dfrac{2}{3}{x^2}(x – 1)\sqrt {x – 1} – \dfrac{8}{{15}}x{(x – 1)^2}\sqrt {x – 1} + \dfrac{{16}}{{105}}{(x – 1)^3}\sqrt {x – 1} + C\)
Vậy \(a + b + c = \dfrac{{ – 82}}{{105}}\).
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
\(F(x) = \int {{x^2}\sqrt {x – 1} dx} = \dfrac{2}{3}{x^2}(x – 1)\sqrt {x – 1} – \dfrac{8}{{15}}x{(x – 1)^2}\sqrt {x – 1} + \dfrac{{16}}{{105}}{(x – 1)^3}\sqrt {x – 1} + C\)
Vậy \(a + b + c = \dfrac{2}{7}\).
[\spoiler]
Câu 55. Tính \(F\left( x \right) = \int {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \). Chọn kết quả đúng:
[A]. \(F(x) = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) – \sqrt {1 + {x^2}} + C\).
[B]. \(F(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\).
[C]. \(F(x) = x\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) + \sqrt {1 + {x^2}} + C\).
[D]. \(F(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) – x\sqrt {1 + {x^2}} + C\).
Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với \(u = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right);dv = dx\)
Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng
[\spoiler]
Câu 56. có đạo hàm \(f'(x) = {x^3}{e^{{x^2}}}\) và đồ thị hàm số \(f(x)\) đi qua gốc tọa độ \(O\). Chọn kết quả đúng:
[A]. \(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{2}\).
[B]. \(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}\).
[C]. \(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}\).
[D]. \(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + \dfrac{1}{2}\).
Phương pháp tự luận: Đặt \(u = {x^2},dv = x{e^{{x^2}}}\) chọn \(du = 2xdx,v = \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}}\) ta được \(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\). Đồ thị đi qua \(O(0;0)\) nên \(C = \dfrac{1}{2}\).
Phương pháp trắc nghiệm:
\(f(x) = \dfrac{1}{2}{x^2}{e^{{x^2}}} – \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\). Đồ thị đi qua \(O(0;0)\) nên \(C = \dfrac{1}{2}\).
[\spoiler]
Câu 57. Tính \(F(x) = \int {\sqrt {{x^2} – 1} dx} \) bằng:
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} – \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} – \dfrac{1}{2}\ln \left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} + \dfrac{1}{2}\ln \left| {x – \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\).
Cách 1: Sử dụng định nghĩa \(F'(x) = f(x) \Leftrightarrow F'(x) – f(x) = 0\)
Nhập máy tính \(\dfrac{d}{{dx}}\left( {F(x)} \right) – f(x)\). CALC \(x\) tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định, nếu kết quả xấp xỉ bằng0 thì chọn.
Cách 2: Đặt \(u = \sqrt {{x^2} – 1} ,dv = dx\) ta được\(F(x) = x\sqrt {{x^2} – 1} – F(x) – J(x)\)
với \(J(x) = \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {{x^1} – 1} }}} \), bằng cách đặt \(u = x + \sqrt {{x^2} – 1} \) ta được \(J(x) = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\)
Vậy \(F(x) = \dfrac{1}{2}x\sqrt {{x^2} – 1} – \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\).
[\spoiler]
-
to-do-list phương pháp nâng cao hiệu quả, hiệu suất công việc