I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT
1. Nguyên hàm
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) với mọi x ∈ K.
Định lí:
1) Nếu là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số \(G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng \(F\left( x \right) + C\), với C là một hằng số.
Do đó \(F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}} = F\left( x \right) + C} \).
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1: \({\left( {\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} } \right)^\prime } = f\left( x \right)\) và \(\int {f’\left( x \right)d{\rm{x}} = f\left( x \right)} + C\)
Tính chất 2: \(\int {kf\left( x \right)d{\rm{x}}} = k\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) với K là hằng số khác 0.
Tính chất 3: \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]d{\rm{x}}} = \int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} \pm \int {g\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp \(\left( {u = u\left( x \right)} \right)\)
\(\int {d{\rm{x}} = x + C} \) \(\int {d{\rm{u}} = u + C} \)
\(\int {{x^\alpha }d{\rm{x}} = \dfrac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)} \) \(\int {{u^\alpha }d{\rm{u}} = \dfrac{1}{{\alpha + 1}}{u^{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)} \)
\(\int {\dfrac{1}{x}d{\rm{x}} = \ln \left| x \right|} + C\) \(\int {\dfrac{1}{u}d{\rm{u}} = \ln \left| u \right|} + C\)
\(\int {{e^x}d{\rm{x}} = {e^x} + C} \) \(\int {{e^u}d{\rm{u}} = {e^u} + C} \)
\(\int {{a^x}d{\rm{x}} = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \) \(\int {{a^u}d{\rm{u}} = \dfrac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C\left( {a > 0,a \ne 1} \right)} \)
\(\int {\sin x{\rm{dx}} = – \cos {\rm{x}} + C} \) \(\int {\sin u{\rm{du}} = – \cos {\rm{u}} + C} \)
\(\int {\cos {\rm{xdx}} = \sin x + C} \) \(\int {\cos {\rm{udu}} = \sin u + C} \)
\(\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}d{\rm{x}} = \tan x + C} \) F(x)
\(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}d{\rm{x}} = – \cot x + C} \) \(\int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}u}}d{\rm{u}} = – \cot u + C} \)
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Nếu \(\int {f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C} \) và \(u = u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)u’\left( x \right)d{\rm{x}} = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} \)
Hệ quả: Nếu \(u = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) thì ta có\(\int {f\left( {ax + b} \right)d{\rm{x}} = \dfrac{1}{a}F\left( {ax + b} \right)} + C\)
2. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu hai hàm số \(u = u\left( x \right)\) và \(v = v\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên K thì
\(\int {u\left( x \right)v’\left( x \right)d{\rm{x}} = u\left( x \right)v\left( x \right) – } \int {u’\left( x \right)v\left( x \right)d{\rm{x}}} \)
Hay \(\int {u{\rm{d}}v = uv – \int {v{\rm{d}}u} } \)
[B]. KỸ NĂNG CƠ BẢN
– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.
– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.
– Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.
[C]. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\) là hàm số nào trong các hàm số sau?
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{3} + 3{x^2} + 2x + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = 3{x^2} + 3x + C\).
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 2. Hàm số \(F\left( x \right) = 5{x^3} + 4{x^2} – 7x + 120 + C\) là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
[A]. \(f\left( x \right) = 15{x^2} + 8x – 7\).
[B]. \(f\left( x \right) = 5{x^2} + 4x + 7\).
[C]. \(f\left( x \right) = \dfrac{{5{x^2}}}{4} + \dfrac{{4{x^3}}}{3} – \dfrac{{7{x^2}}}{2}\).
[D]. \(f\left( x \right) = 5{x^2} + 4x – 7\).
Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được kết quả.
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: $y = {x^2} – 3x + \dfrac{1}{x}$là
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} – \dfrac{3}{2}{x^2} + \ln \left| x \right| + C\).
[B]. $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} – \dfrac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$.
[C]. $F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + \ln x + C$.
[D]. $F\left( x \right) = 2x – 3 – \dfrac{1}{{{x^2}}} + C$.
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = 2x + 3 + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} – \dfrac{2}{3}{x^2} + 2x + C\).
\(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\). Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 5. Nguyên hàm F(x) của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{{5 – 2x}} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}}\) là hàm số nào?
[A]. \(F\left( x \right) = – \ln \left| {5 – 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| – \dfrac{3}{x} + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = – \ln \left| {5 – 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| + \dfrac{3}{x} + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = \ln \left| {5 – 2x} \right| + 2\ln \left| x \right| – \dfrac{3}{x} + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = – \ln \left| {5 – 2x} \right| – 2\ln \left| x \right| + \dfrac{3}{x} + C\).
Sử dụng bảng nguyên hàm.
Câu 6. Hãy chọn mệnh đề đúng
[A]. \(\int {{a^x}dx = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \left( {0 < a \ne 1} \right)\).
[B]. \(\int {{x^\alpha }} dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C,\forall \alpha \in R\).
[C]. \(\int {f(x).g(x)dx = \int {f(x)dx.} } \int {g(x)dx} \).
[D]. \(\int {\dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}dx = \dfrac{{\int {f(x)dx} }}{{\int {g(x)dx} }}} \).
A đúng. B sai vì thiếu điều kiện \(\alpha \not = – 1\); C, D sai vì không có tính chất.
Câu 7. Hàm số \(f(x) = {x^3} – {x^2} + 3 + \dfrac{1}{x}\) có nguyên hàm là
[A]. \(F(x) = \dfrac{{{x^4}}}{4} – \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
[B]. \(F(x) = {x^4} – \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
[C]. \(F(x) = 3{x^2} – 2x – \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\).
[D]. \(F(x) = {x^4} – {x^3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\).
\(F(x) = \int {({x^3} – {x^2} + 3 + \dfrac{1}{x})dx} = \dfrac{{{x^4}}}{4} – \dfrac{{{x^3}}}{3} + 3x + \ln \left| x \right| + C\)
4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁ C
Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right)\).
[A]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + C} \).
[B]. \(\int {f(x).dx = \sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + C} \).
[C]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + C} \).
[D]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{6}\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + C} \).
\(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{3}\int {\cos \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right)d\left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = } } \dfrac{1}{3}\sin \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) + C\).
Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}\).
[A]. \(\int {f(x)dx = – \cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} + C\).
[B]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{1}{3}\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} + C\).
[C]. \(\int {f(x)dx = \cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} + C\).
[D]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{3}\cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)} + C\).
\(\int {\dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}} = \int {\dfrac{{d\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right)}}} = – \cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) + C\).
Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\cos x\).
[A]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} \).
[B]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} \).
[C]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
[D]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
\(\int {{{\sin }^3}x.\cos x.dx = \int {{{\sin }^3}x.d(\sin x) = \dfrac{{{{\sin }^4}x}}{4} + C} } \).
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\cos ^2}x.\sin x\).
[A]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
[B]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} \).
[C]. \(\int {f(x)dx = – \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
[D]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{2} + C} \).
\(\int {{{\cos }^2}x\sin xdx = – \int {co{s^2}xd(\cos x) = – \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + C} } \)
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x.\cos 2x.dx\).
[A]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{ – 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
[B]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{6}\cos 3x + \dfrac{1}{2}\sin x + C} \).
[C]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{{{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C} \).
[D]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{6}\cos 3x – \dfrac{1}{2}\sin x + C} \).
\(\int {\sin x.\cos 2xdx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\sin xdx} = – \int {\left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} = \dfrac{{ – 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C\)
Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2\sin x.\cos 3x\).
[A]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{2}} \cos 2x – \dfrac{1}{4}\cos 4x + C\).
[B]. \(\int {f(x)dx = \dfrac{1}{2}} \cos 2x + \dfrac{1}{4}\cos 4x + C\).
[C]. \(\int {f(x)dx = 2{{\cos }^4}x + 3{{\cos }^2}x + C} \).
[D]. \(\int {f(x)dx = 3{{\cos }^4}x – 3{{\cos }^2}x + C} \).
$\int {2\sin x.\cos 3xdx} = \int {\left( {\sin 4x – \sin 2x} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\cos 2x – \dfrac{1}{4}\cos 4x + C$.
Câu 14. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\sin 3x\).
[A]. $\int {f(x)dx = \dfrac{3}{8}\left( {\dfrac{{\sin 2x}}{2} – \dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) – \dfrac{1}{8}\left( {x – \dfrac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
[B]. $\int {f(x)dx = \dfrac{3}{8}\left( {\dfrac{{\sin 2x}}{2} – \dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) + \dfrac{1}{8}\left( {x – \dfrac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
[C]. $\int {f(x)dx = \dfrac{1}{8}\left( {\dfrac{{\sin 2x}}{2} – \dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) – \dfrac{3}{8}\left( {x – \dfrac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
[D]. $\int {f(x)dx = \dfrac{3}{8}\left( {\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) – \dfrac{1}{8}\left( {x + \dfrac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C} $.
\(\begin{array}{l}\int {{{\sin }^3}x.\sin 3xdx} = \int {\dfrac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}.\sin 3xdx} \\ = \dfrac{3}{8}\int {2\sin x.\sin 3xdx} – \dfrac{1}{8}\int {2{{\sin }^2}3xdx} = \dfrac{3}{8}\int {\left( {\cos 2x – \cos 4x} \right)dx} – \dfrac{1}{8}\int {\left( {1 – \cos 6x} \right)dx} \\ = \dfrac{3}{8}\left( {\dfrac{{\sin 2x}}{2} – \dfrac{{\sin 4x}}{4}} \right) – \dfrac{1}{8}\left( {x – \dfrac{{\sin 6x}}{6}} \right) + C\end{array}\)
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x\).
[A]. $\int {f(x)dx = \dfrac{{ – 3}}{{16}}\cos 4x + C} $.
[B]. $\int {f(x)dx = \dfrac{3}{{16}}\cos 4x + C} $.
[C]. $\int {f(x)dx = \dfrac{{ – 3}}{{16}}\sin 4x + C} $.
[D]. $\int {f(x)dx = \dfrac{3}{{16}}\sin 4x + C} $.
\(\int {\left( {{{\sin }^3}x.\cos 3x + {{\cos }^3}x.\sin 3x} \right).} dx\)\( = \int {\left( {\dfrac{{3\sin x – \sin 3x}}{4}.\cos 3x + \dfrac{{\cos 3x + 3\cos x}}{4}.\sin 3x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\dfrac{3}{4}\sin x.\cos 3x – \sin 3x.\cos 3x + \dfrac{3}{4}\sin 3x.\cos x + \sin 3x.\cos 3x} \right)dx} \) \( = \dfrac{3}{4}\int {\left( {\sin x.\cos 3x + \sin 3x.\cos x} \right)dx} = \dfrac{3}{4}\int {\sin 4xdx} = \dfrac{{ – 3}}{{16}}\cos 4x + C\)
Câu 16. Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {\sin ^2}\dfrac{x}{2}\) biết \(F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{4}\).
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{2} – \dfrac{{\sin x}}{2} + \dfrac{1}{2}\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin x}}{2} + \dfrac{3}{2}\).
[C]. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin x}}{2} + \dfrac{1}{2}\).
[D]. \(F\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{{\sin x}}{2} + \dfrac{5}{2}\).
• \(F(x) = \int {{{\sin }^2}\dfrac{x}{2}dx = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 – \cos x} \right)dx} } = \dfrac{x}{2} – \dfrac{1}{2}\sin x + C\)
• \(F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} – \dfrac{1}{2}\sin \dfrac{\pi }{2} + C = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\)