NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT
Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}{.3^{ – 2{\rm{x}}}}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\dfrac{2}{9}} \right)^x}.\dfrac{1}{{\ln 2 – \ln 9}} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\dfrac{9}{2}} \right)^x}.\dfrac{1}{{\ln 2 – \ln 9}} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^x}.\dfrac{1}{{\ln 2 – \ln 9}} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {\left( {\dfrac{2}{9}} \right)^x}.\dfrac{1}{{\ln 2 + \ln 9}} + C\).
\(\int {{2^x}{{.3}^{ – 2{\rm{x}}}}d{\rm{x}} = \int {{{\left( {\dfrac{2}{9}} \right)}^x}d{\rm{x}} = } } {\left( {\dfrac{2}{9}} \right)^x}.\dfrac{1}{{\ln 2 – \ln 9}} + C\)
[\spoiler]
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số\(f(x) = {e^x}(3 + {e^{ – x}})\) là
[A]. \(F(x) = 3{e^x} + x + C\).
[B]. \(F(x) = 3{e^x} + {e^x}\ln {e^x} + C\).
[C]. \(F(x) = 3{e^x} – \dfrac{1}{{{e^x}}} + C\).
[D]. \(F(x) = 3{e^x} – x + C\).
\(F(x) = \int {{e^x}(3 + {e^{ – x}})} dx = \int {(3{e^x} + 1)dx = 3{e^x}} + x + C\)
[\spoiler]
Câu 19. Hàm số \(F\left( x \right) = 7{e^x} – \tan x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
[A]. \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {7 – \dfrac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\).
[B]. \(f\left( x \right) = 7{e^x} + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\).
[C]. \(f\left( x \right) = 7{e^x} + {\tan ^2}x – 1\).
[D]. \(f\left( x \right) = 7\left( {{e^x} – \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\).
Ta có \(g'(x) = 7{e^x} – \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {e^x}(7 – \dfrac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}) = f(x)\)
[\spoiler]
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {{e^{4{\rm{x}} – 2}}} \).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{2}{e^{2{\rm{x}} – 1}} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = {e^{2{\rm{x}} – 1}} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{2}{e^{4{\rm{x}} – 2}} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{e^{2{\rm{x}} – 1}}} + C\).
\(\int {\sqrt {{e^{4{\rm{x}} – 2}}} d{\rm{x}}} = \int {{e^{2{\rm{x}} – 1}}d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{2}{e^{2{\rm{x}} – 1}} + C\).
[\spoiler]
Câu 21. Hàm số\(f(x) = {e^x}\left( {\ln 2 + \dfrac{{{e^{ – x}}}}{{si{n^2}x}}} \right)\) có họ nguyên hàm là
[A]. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 – \cot x + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \cot x + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 + \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = {e^x}\ln 2 – \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + C\).
$\int {f(x)} dx = \int {\left( {{e^x}\ln 2 + \dfrac{1}{{si{n^2}x}}} \right)} dx = {e^x}\ln 2 – \cot x + C$
[\spoiler]
Câu 22. Hàm số \(f(x) = {3^x} – {2^x}{.3^x}\) có nguyên hàm bằng
[A]. \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} – \dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\).
[B]. …
[C]. \(\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{{{3^x}{{.2}^x}}}{{\ln 6}} + C\).
[D]. $\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{{{6^x}}}{{\ln 3.\ln 2}} + C$.
\(\int {f(x)dx = } \int {\left( {{3^x} + {6^x}} \right)} dx = \dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{{{6^x}}}{{\ln 6}} + C\)
[\spoiler]
Câu 23. Một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = {({e^{ – x}} + {e^x})^2}\) thỏa mãn điều kiện \(F(0) = 1\) là
[A]. \(F(x) = – \dfrac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + 1\).
[B]. \(F(x) = – 2{e^{ – 2x}} + 2{e^{2x}} + 2x + 1\).
[C]. \(F(x) = – \dfrac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + 2x\).
[D]. \(F(x) = – \dfrac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + 2x – 1\).
Ta có\(F(x) = – \dfrac{1}{2}{e^{ – 2x}} + \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + 2x + C,F(0) = 1 \Leftrightarrow C = 1\)
[\spoiler]
Câu 24. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{2x – 1}}{{x + 1}}\).
[A]. $F\left( x \right) = 2{\rm{x}} – 3\ln \left| {x + 1} \right| + C$.
[B]. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x}} – \ln \left| {x + 1} \right| + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = 2{\rm{x + }}\ln \left| {x + 1} \right| + C\).
\(\int {\dfrac{{2x – 1}}{{x + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {2 – \dfrac{3}{{x + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = 2{\rm{x}} – 3\ln \left| {x + 1} \right| + C\)
[\spoiler]
Câu 25. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{2{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2x + 1}}\).
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \dfrac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + 5\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} – \ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
$\int {\dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} + 3}}{{2{\rm{x}} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{2} + \dfrac{5}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}}} \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{8}{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)^2} + \dfrac{5}{4}\ln \left| {2{\rm{x}} + 1} \right| + C$
[\spoiler]
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3} – x}}{{{x^2} + 1}}\).
[A]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} – \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = {x^2} – \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = {x^2} + \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\).
\(\int {\dfrac{{{x^3} – x}}{{{x^2} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {x – \dfrac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} – \int {\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \dfrac{{{x^2}}}{2} – \ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\)
[\spoiler]
Câu 27. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{x\ln {\rm{x}} + x}}\).
[A]. \(F\left( x \right) = \ln \left| {\ln {\rm{x}} + 1} \right| + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = \ln \left| {\ln {\rm{x}} – 1} \right| + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = \ln \left| {{\rm{x}} + 1} \right| + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = \ln {\rm{x}} + 1 + C\).
\(\int {\dfrac{1}{{x\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}d{\rm{x}}} = \int {\dfrac{{d\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {\ln {\rm{x}} + 1} \right)}}} = \ln \left| {\ln {\rm{x}} + 1} \right| + C\)
[\spoiler]
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}\).
[A]. \(F\left( x \right) = {e^x} – \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
[B]. \(F\left( x \right) = {e^x} + \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
[C]. \(F\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\).
[D]. \(F\left( x \right) = {e^{2x}} – {e^x} + C\).
\(\int {\dfrac{{{e^{2{\rm{x}}}}}}{{{e^x} + 1}}d{\rm{x}}} = \int {\left( {{e^x} – \dfrac{{{e^{\rm{x}}}}}{{{e^x} + 1}}} \right)d{\rm{x}}} = {e^x} – \int {\dfrac{{d\left( {{e^{\rm{x}}} + 1} \right)}}{{{e^x} + 1}}} = {e^x} – \ln \left( {{e^x} + 1} \right) + C\)
[\spoiler]
-
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán 12
Các dạng bài tập hàm bậc ba, toán 12