Trắc nghiệm nguyên hàm của hàm số chứa căn thức, toán 12

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC.

Câu 29. Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}\) là
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}{2} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – 2\sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C\).

\(\int {\dfrac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }}d{\rm{x}} = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {2{\rm{x}} – 1} \right)}}{{\sqrt {2{\rm{x}} – 1} }} = \sqrt {2{\rm{x}} – 1} + C} } \).

[\spoiler]
Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {3 – x} }}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – 2\sqrt {3 – x} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \sqrt {3 – x} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt {3 – x} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – 3\sqrt {3 – x} + C\).

\(\int {\dfrac{1}{{\sqrt {3 – x} }}d{\rm{x}} = – \int {\dfrac{{d\left( {3 – x} \right)}}{{\sqrt {3 – x} }} = – 2\sqrt {3 – x} + C} } \).

[\spoiler]
Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} \).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{1}{3}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C\).

Đặt \(t = \sqrt {2x + 1} \Rightarrow d{\rm{x}} = t{\rm{d}}t\)
$ \Rightarrow \int {\sqrt {2{\rm{x}} + 1} d{\rm{x = }}\int {{t^2}dt = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C} = \dfrac{1}{3}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\sqrt {2{\rm{x}} + 1} + C} $.

[\spoiler]
Câu 32. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{2}{3}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{2}{3}\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C\).

Đặt \(t = \sqrt {5 – 3{\rm{x}}} \Rightarrow d{\rm{x}} = – \dfrac{{2t{\rm{d}}t}}{3}\)
\(\int {\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} d{\rm{x}} = – \dfrac{2}{9}\left( {5 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt {5 – 3{\rm{x}}} + C} \).

[\spoiler]
Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{x – 2}}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{3}{4}\left( {x – 2} \right)\sqrt[3]{{x – 2}} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{3}{4}\left( {x – 2} \right)\sqrt[3]{{x – 2}} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\left( {x – 2} \right)\sqrt {x – 2} \).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}{\left( {x – 2} \right)^{ – \dfrac{2}{3}}} + C\).

Đặt \(t = \sqrt[3]{{x – 2}} \Rightarrow d{\rm{x}} = 3{t^2}dt\). Khi đó \(\int {\sqrt[3]{{x – 2}}d{\rm{x}} = \dfrac{3}{4}\left( {x – 2} \right)\sqrt[3]{{x – 2}} + C} \)

[\spoiler]
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{1}{4}\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{3}{4}\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – {\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)^{ – \dfrac{2}{3}}} + C\).

Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}} \Rightarrow d{\rm{x}} = – {t^2}dt\). Khi đó \(\int {\sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}}d{\rm{x}} = – \dfrac{1}{4}\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)\sqrt[3]{{1 – 3{\rm{x}}}} + C} \)

[\spoiler]
Câu 35. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} \).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C\)
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{3}{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }} + C\)
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{{3\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{2} + C\)
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{{2{e^{\dfrac{{3{\rm{x}} + 2}}{2}}}}}{{3{\rm{x}} + 2}} + C\)

\(\int {\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \dfrac{2}{3}\int {{e^{\dfrac{{3{\rm{x}}}}{2}}}.d\left( {\dfrac{{3{\rm{x}}}}{2}} \right) = \dfrac{2}{3}.{e^{\dfrac{{3{\rm{x}}}}{2}}} + C = \dfrac{{2\sqrt {{e^{3{\rm{x}}}}} }}{3} + C} } \)

[\spoiler]
Câu 36. Hàm số \(F\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\sqrt {x + 1} + 2016\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
[A]. \(f\left( x \right) = \dfrac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)
[B]. \(f\left( x \right) = \dfrac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\)
[C]. \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{5}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)
[D]. \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C\)

\(F’\left( x \right) = \dfrac{5}{2}\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} \)

[\spoiler]
Câu 37. Biết một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 – 3x} }} + 1\) là hàm số F(x) thỏa mãn \(F\left( { – 1} \right) = \dfrac{2}{3}\). Khi đó F(x) là hàm số nào sau đây?
[A]. \(F\left( x \right) = x – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} + 3\)
[B]. \(F\left( x \right) = x – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} – 3\)
[C]. \(F\left( x \right) = x – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} + 1\)
[D]. \(F\left( x \right) = 4 – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} \)

\(F\left( x \right) = \int {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} }} + 1} \right)} d{\rm{x}} = – \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{d\left( {1 – 3{\rm{x}}} \right)}}{{\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} }} + x = x – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} + C} \)
\(F\left( { – 1} \right) = \dfrac{2}{3} \Rightarrow C = 3 \Rightarrow F\left( x \right) = x – \dfrac{2}{3}\sqrt {1 – 3{\rm{x}}} + 3\)

[\spoiler]
Câu 38. Biết \(F(x) = 6\sqrt {1 – x} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{a}{{\sqrt {1 – x} }}\). Khi đó giá trị của \(a\) bằng
[A]. – 3.
[B]. 3.
[C]. \(6\).
[D]. \(\dfrac{1}{6}\) .

\(F'(x) = {\left( {6\sqrt {1 – x} } \right)^\prime } = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt {1 – x} }}\)\( \Rightarrow a = – 3\)

[\spoiler]
Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt x – 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2\sqrt x + 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = 2 + 2\ln \left( {1 + \sqrt x } \right) + C\).

Đặt \(t = 1 + \sqrt x \Rightarrow x = {\left( {t – 1} \right)^2} \Rightarrow dx = 2\left( {t – 1} \right)dt\).
Khi đó \(\int {\dfrac{1}{{1 + \sqrt x }}d{\rm{x}}} = \int {\dfrac{{2\left( {t – 1} \right)dt}}{t} = 2\int {\left( {1 – \dfrac{1}{t}} \right)dt = 2\left( {t – \ln \left| t \right|} \right) + {C_1}} } \)
… (Với \(C = 2 + {C_1}\) và \(1 + \sqrt x > 0\))

[\spoiler]
Câu 40. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{x}{{2\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} }} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \sqrt {x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + C\).

\(\int {\dfrac{{x + 2}}{{\sqrt {x + 1} }}d{\rm{x}}} = \int {\left( {\sqrt {x + 1} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)d\left( {x + 1} \right) = \dfrac{2}{3}\left( {x + 4} \right)\sqrt {x + 1} } + C\)

[\spoiler]
Câu 41. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{2{\rm{x}} – 1}}{{\sqrt {1 – x} }}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{2}{3}\left( {2x – 1} \right)\sqrt {1 – x} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – 2\sqrt {1 – x} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 – x} }} + C\).

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{2x – 1}}{{\sqrt {1 – x} }}d{\rm{x}}} = – \int {\left( { – 2\sqrt {1 – x} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 – x} }}} \right)d\left( {1 – x} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{3}{\left( {1 – x} \right)^{\dfrac{3}{2}}} – 2{\left( {1 – x} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + C = – \dfrac{2}{3}\left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x} + C\end{array}\)

[\spoiler]
Câu 42. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
[A]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
[B]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = – \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
[C]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{6}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).
[D]. \(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{2}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\).

\(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }}d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{6}\int {\dfrac{{d\left( {3{{\rm{x}}^2} + 2} \right)}}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }} = \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C} \)

[\spoiler]

Hàm số lũy thừa, toán học phổ thông

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, trắc nghiệm toán 12
• Các dạng bài tập hàm bậc ba, toán 12
• Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, toán 12