Bài tập cấp số cộng, trắc nghiệm toán 11

Đáp án B.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

– Phương án A: $1-\left( -3 \right)=5-1=9-5=4\ne 14-9=5$.

– Phương án B: $2-5=-1-2=-4-\left( -1 \right)=-7-\left( -4 \right)=-3$.

Vậy dãy số ở phương án B là cấp số cộng.

Đáp án C.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được đáp án đúng.

– Phương án A: Ta có ${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=3,\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{a}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

– Phương án B: Ta có ${{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}=-\sqrt{5},\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{b}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

– Phương án C: Ta có ${{c}_{n+1}}-{{c}_{n}}=2n,\,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{c}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

– Phương án D: Ta có ${{d}_{n}}=2018,\,\forall n\ge 1$(do $\cot \dfrac{\left( 4n-1 \right)\pi }{2}=0$) nên $\left( {{d}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

Đáp án C.

Theo giả thiết, ta có: $\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{z+x}=\dfrac{2}{y+z}\Rightarrow \left( y+z \right)\left( 2x+y+z \right)=2\left( x+y \right)\left( x+z \right)\Leftrightarrow {{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2{{x}^{2}}$.

Suy ra ${{y}^{2}},{{x}^{2}},{{z}^{2}}$ hoặc ${{z}^{2}},{{x}^{2}},{{y}^{2}}$ lập thành một cấp số cộng. Do đó phương án đúng là C.

Đáp án A.

Ta có $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng có công sai $d=3$ nên số hạng đầu là ${{u}_{1}}={{u}_{3}}-2d=-8$

Suy ra số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=3n-11$.

Đáp án A.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+d=2017 \\
& {{u}_{1}}+4d=1945 \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=2041 \\
& d=-24 \\
\end{align} \right.$

Suy ra ${{u}_{2018}}={{u}_{1}}+2017d=-46\,367$.

Đáp án B.

Ta có ${{u}_{1}}={{S}_{1}}=1$ và ${{u}_{1}}+{{u}_{2}}={{S}_{2}}=8$. Suy ra ${{u}_{2}}=7$

Vậy $d={{u}_{2}}-{{u}_{1}}=6$.

Đáp án A.

Ta có ${{u}_{n}}={{S}_{n}}-{{S}_{n-1}}=9-4n$.

Suy ra ${{u}_{3}}=-3,\,{{u}_{5}}=-11,\,{{u}_{7}}=-19$. Do đó $P=491$.

Đáp án A.

Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}+{{u}_{5}}=5 \\
& {{u}_{3}}.{{u}_{5}}=6 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=2 \\
& {{u}_{5}}=3 \\
\end{align} \right.$
hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=3 \\
& {{u}_{5}}=2 \\
\end{align} \right.$.
+ Giải $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=2 \\
& {{u}_{5}}=3 \\
\end{align} \right.$, ta được ${{u}_{1}}=1$.
+ Giải $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{3}}=3 \\
& {{u}_{5}}=2 \\
\end{align} \right.$, ta được ${{u}_{1}}=4$.

Đáp án A.

Ta có $u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=3u_{1}^{2}+24{{u}_{1}}+56=3{{\left( {{u}_{1}}+4 \right)}^{2}}+8\ge 8$

Dấu bằng xảy ra khi ${{u}_{1}}+4=0\Leftrightarrow {{u}_{1}}=-4$

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${{u}_{n}}=2n-6$.

Nếu ${{u}_{n}}=2018$ thì $2n-6=2018\Leftrightarrow n=1012$.

Vậy $2018$ là số hạng thứ $1012$ của cấp số cộng.

Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có $\left\{ \begin{align}
& 2x=6+\left( -2 \right) \\
& 2.\left( -2 \right)=x+y \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=2 \\
& y=-6 \\
\end{align} \right.$.

Đáp án A.

Theo giả thiết, ta có ${{u}_{1}}=3,\,{{u}_{8}}=24$

Suy ra $3+7d=24\Leftrightarrow d=3$.

Vậy $6$ số cần viết thêm là $6,\,9,\,12,\,15,\,18,\,21$.

Đáp án B.

Ta có ${{x}_{n}}=4+\left( n-1 \right).3=3n+1,\,1\le n\le 2017$

${{y}_{n}}=1+\left( m-1 \right).5=5m-4,\,1\le m\le 2017$

Để một số là số hạng chung của cả hai cấp số cộng thì ta phải có $3n+1=5m-4\Leftrightarrow 3n=5\left( m-1 \right)$.

Suy ra $n\vdots 5$, tức là $n=5t$ và $m=3t+1\,\,\left( t\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.

Lại do $1\le n\le 2017$ nên $1\le t\le 403$.

ứng với $403$ giá trị của $t$, ta tìm được $403$ số hạng chung.

Đáp án B.

Cấp số cộng $1,7,13,\ldots ,x$ có số hạng đầu ${{u}_{1}}=1$ và công sai $d=6$ nên số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}=6n-5$

Giả sử $x={{u}_{n}}=6n-5$. Khi đó $1+7+13+\ldots +x=\dfrac{n\left( 6n-4 \right)}{2}=3{{n}^{2}}-2n$

Theo giả thiết, ta có $3{{n}^{2}}-2n=280\Rightarrow n=10\Rightarrow x={{u}_{10}}=55$.

Đáp án A.

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$1+\sin x+1+\sin 3x=2{{\sin }^{2}}x$
$ \Leftrightarrow 2+4\sin x-4{{\sin }^{3}}x=2{{\sin }^{2}}x $
$ \Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x-2\sin x-1=0 $
$ \Leftrightarrow \left( 2\sin x+1 \right)\left( {{\sin }^{2}}x-1 \right)=0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& \sin x=-\dfrac{1}{2} \\
& \cos x=0 \\
\end{align} \right. $

+) $\sin x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi  \\
& x=\dfrac{7\pi }{6}+k2\pi  \\
\end{align} \right.$.

+) $\cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $

Với nghiệm $x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$, ta tìm được $x=\dfrac{11\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\dfrac{7\pi }{6}+k2\pi $và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$, ta tìm được $x=\dfrac{7\pi }{6}$. Với nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $ và $x\in \left[ 0;2\pi  \right]$ ta tìm được nghiệm $x=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{3\pi }{2}$

Do đó $S+\dfrac{11\pi }{6}+\dfrac{7\pi }{6}+\dfrac{\pi }{2}+\dfrac{3\pi }{2}=5\pi $.

Đáp án B.

Ta có ${{u}_{4}}=-3\Leftrightarrow {{u}_{1}}+3d=-3$.

${{S}_{9}}=45\Leftrightarrow \dfrac{9\left[ 2{{u}_{1}}+8d \right]}{2}=45\Leftrightarrow {{u}_{1}}+4d=5$.

Do đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}+3d=-3 \\
& {{u}_{1}}+4d=5 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=-27 \\
& d=8 \\
\end{align} \right.$.

Ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{10\left[ 2{{u}_{1}}+9d \right]}{2}=90;{{S}_{20}}=\dfrac{20\left[ 2{{u}_{1}}+19d \right]}{2}=980$

Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án A.

Ta có ${{x}_{3}}+{{x}_{13}}=80\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+2d \right)+\left( {{x}_{15}}-2d \right)=80$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{15}}=80\Rightarrow {{S}_{15}}=\dfrac{15\left( {{x}_{1}}+{{x}_{15}} \right)}{2}=600$.

Đáp án A.

Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.

Ta có: ${{u}_{m}}={{u}_{1}}+\left( m-1 \right)d;\,{{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d;\,{{u}_{p}}={{u}_{1}}+\left( p-1 \right)d$.

– Phương án A: Ta có: $\left( n-p \right){{u}_{m}}+\left( p-m \right){{u}_{n}}+\left( m-n \right){{u}_{p}}$

– $=\left( n-p \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( m-1 \right)d \right]+\left( p-m \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]+\left( m-n \right)\left[ {{u}_{1}}+\left( p-1 \right)d \right]=0$.

– Vậy đáp án A.

Đáp án A.

Theo giả thiết ta có:

$\begin{align}
& \dfrac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{c}+\sqrt{a}} \\
& \Leftrightarrow \left( \sqrt{c}+\sqrt{a} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{c}+2\sqrt{b} \right)=2\left( \sqrt{b}+\sqrt{c} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\Leftrightarrow a+c=2b \\
\end{align}$

Suy ra ba số $a,b,c$ hoặc $c,b,a$ lập thành một cấp số cộng. Do đó đáp án là.   A.

Đáp án B.

Áp dụng kết quả ở phần lí thuyế, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là $9{{b}^{2}}=100ac$hay ${{9.10}^{2}}=100.1.m\Leftrightarrow m=9$.

Với $m=9$ thì phương trình đã cho trở thành ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0\Leftrightarrow x=\pm 1;x=\pm 3$.

Bốn số $-3;-1;1;3$ lập thành một cấp số cộng nên $m=9$ là giá trị cần tìm.

Đáp án A.

ÁP dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng thì điều kiện cần là $9{{b}^{2}}=100ac$ hay

$9{{\left( 2m+2 \right)}^{2}}=100.1.\left( 2m+1 \right)\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-32m-16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& m=4 \\
& m=-\dfrac{4}{9} \\
\end{align} \right.$

Với $m=4$, ta có phương trình ${{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+9=0$. Phương trình nàu có 4 nghiệm là $-3;-1;1;3$ lập thành cấp số cộng.

Với $m=-\dfrac{4}{9}$, ta có phương trình $9{{x}^{4}}-10{{x}^{2}}+1=0$. Phương trình này có 4 nghiệm $-1;-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};1$ lập thành cấp số cộng.

Vậy $m=4;\,m=-\dfrac{4}{9}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ${{4}^{2}}+{{\left( -\dfrac{4}{9} \right)}^{2}}=\dfrac{1312}{81}$.

Đáp án D.

Áp dụng kết quả phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là $-\dfrac{b}{3\text{a}}=-\dfrac{-3}{3}=1$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${{1}^{3}}-{{3.1}^{2}}-1+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 2$.

Với $m=\pm 2$, ta có phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-x+3=0$.

$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1,x=1,x=3$

Ba số $-1,1,3$ lập thành cấp số cộng.

Vậy các giá trị cần tìm là $m=\pm 2$. Do đó D là phương án đúng.

Đáp án A.

Áp dụng kết quả ở phần lý thuyết, ta có phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần là: $-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-9}{3}=3$ là nghiệm của phương trình.

Suy ra ${{3}^{3}}-{{9.3}^{2}}+23.3+{{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=0$

$\Leftrightarrow $ ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$$\Leftrightarrow m=-1,m=2,m=3$

Với $m=-1,m=2,m=3$ thì ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m+6=0$ nên ${{m}^{3}}-4{{m}^{2}}+m-9=-15$.

Do vậy, với $m=-1,m=2,m=3$ ta có phương trình ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+23x-15=0\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-6x+5 \right)=0$ $\Leftrightarrow x=1,x=3,x=5$.

Ba số 1,3,5 lập thành cấp số cộng.

Vậy $m=-1,m=2,m=3$ là các giá trị cần tìm.

Do đó ${{\left( -1 \right)}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}=34$

Đáp án A.

Ký hiệu ${{h}_{n}}$ là độ cao của bậc thứ $n$ so với mặt sân.

Khi đó, ta có ${{h}_{n+1}}={{h}_{n}}+0,18$ (mét), trong đó ${{h}_{1}}=0,5$ (mét). Dãy số $\left( {{h}_{n}} \right)$ lập thành một cấp số cộng có ${{h}_{1}}=0,5$ và công sai $d=0,18$. Suy ra số hạng tổng quát của cấp số cộng này là ${{h}_{n}}=0,5+\left( n-1 \right).0,18=0,18.n+0,32$ (mét).

Đáp án A.

Giả sử trồng được $n$ hàng. Khi đó tổng số cây được trồng là $S=1+2+…+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$.

Theo giả thiết ta có $\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}=3003\Leftrightarrow n=77$.

Đáp án B.

Kí hiệu ${{u}_{n}}$ là số hạt dẻ ở ô thứ $n$.

Khi đó, ta có ${{u}_{1}}=7$ và ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+5,n\ge 1$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với ${{u}_{1}}=7$ và công sai $d=5$ nên có ${{S}_{n}}=\dfrac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=\dfrac{5{{n}^{2}}+9n}{2}$.

Theo giả thiết, ta có $\dfrac{5{{n}^{2}}+9n}{2}=25450$ $\Leftrightarrow n=100$.

Suy ra bàn cờ có 100 ô. Do đó B là đáp án đúng.

Đáp án B.

Kí hiệu ${{u}_{n}}$ là mức lương của quý thứ $n$ làm việc cho công ty. Khi đó ${{u}_{1}}=13,5$ và ${{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+0,5,n\ge 1$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ lập thành cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}=13,5$ và công sai $d=0,5$.

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$. Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là ${{S}_{12}}=\dfrac{12.\left[ 2.13,5+11.0,5 \right]}{2}=195$ (triệu đồng).

Đáp án B.

Bán kính đường tròn có đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{r}_{n}}=\dfrac{n}{2}$.

Diên tích nửa đường tròn đường kính $O{{A}_{n}}$ là ${{S}_{n}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{n}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{n}^{2}}\pi }{8}$.

Suy ra ${{u}_{n}}={{s}_{n}}-{{s}_{n-1}}=\dfrac{\pi }{8}\left[ {{n}^{2}}-{{\left( n-1 \right)}^{2}} \right]=\dfrac{\left( 2n-1 \right)\pi }{8},n\ge 2$.

Ta có ${{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\pi {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{\pi }{8}$.

Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{\pi }{4},\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d=\dfrac{\pi }{4}$.

Suy ra B là phương án đúng.

Đáp án B.

Ta có ${{A}_{n}}\left( n;{{u}_{n}} \right)$ trong đó ${{u}_{n}}=3n-2$.

Do ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=3,\forall n\ge 1$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=3$.

Suy ra B là phương án đúng.

Đáp án A.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d=-3n+5$.

Nhận thấy toạ độ của các điểm ${{A}_{n}}$ đều thoả mãn phương trình $y=-3x+5$ nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm ${{A}_{1}},\,{{A}_{2}},…,{{A}_{n}},…$là $y=-3x+5$ .

Suy ra A là phương án đúng.