Bài tập cấp số nhân, trắc nghiệm toán 11

Đáp án B

Các dãy số trong các phương án $A,C$ và D đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án B thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án B không phải là cấp số nhân.

Đáp án C

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

+ Phương án $A:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $4,1,-2$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

+ Phương án $B:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $4;-2;-20$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{v}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

+ Phương án $C:$ Ta có ${{w}_{n+1}}={{7.3}^{n+1}}=3{{w}_{n}},\forall n\ge 1$ nên dãy số $\left( {{w}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân.

+ Phương án $D:$ Ba số hạng đầu của dãy số là $\dfrac{7}{3},\dfrac{7}{6},\dfrac{7}{9}$ không lập thành cấp số nhân nên dãy số $\left( {{t}_{n}} \right)$ không phải là cấp số nhân.

Đáp án B

Cách kiểm tra như câu 2.

Đáp án B

Ta có: ${{u}_{n+1}}=\dfrac{{{u}_{n}}}{4}=\dfrac{1}{4}.{{u}_{n}}$ nên $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q=\dfrac{1}{4}.$ Suy ra số hạng tổng quát là ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=3.{{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{n-1}}={{3.4}^{1-n}}.$

Vậy phương án đúng là B

Đáp án B

Ta có $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{2}}=-3 \\
& {{x}_{4}}=-27 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}q=-3 \\
& {{x}_{1}}{{q}^{3}}=-27 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=-1 \\
& q=3 \\
\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{x}_{1}}=1 \\
& q=-3 \\
\end{align} \right..$

Do đó B là phương án đúng.

Đáp án A

Ta có: $\left\{ \begin{align}
& {{a}_{3}}=8 \\
& {{a}_{5}}=32 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}{{q}^{2}}=8 \\
& {{a}_{1}}{{q}^{4}}=32 \\
\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=2 \\
& q=2 \\
\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}
& {{a}_{1}}=2 \\
& q=-2 \\
\end{align} \right..$

Với ${{a}_{1}}=2,q=2$ thì ${{a}_{10}}={{a}_{1}}{{q}^{9}}=1024.$

Với ${{a}_{1}}=2,q=-2$ thì ${{a}_{10}}={{a}_{1}}{{q}^{9}}=-1024.$

Vậy ${{a}_{10}}=\pm 1024.$ Suy ra A là phương án đúng.

Đáp án C

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

${{y}^{2}}=12.192=2304$ $\Rightarrow y=\pm 48.$

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

$xy={{12}^{2}}=144.$

Với $y=48$ thì $x=3;$ với $y=-48$ thì $x=-3.$

Vậy phương án đúng là C

Đáp án D

Ta có: ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{n}}}{1-q}$ nên theo giả thiế, ta có:

$5.\dfrac{1-{{3}^{n}}}{1-3}=200$ $\Leftrightarrow {{3}^{n}}=81\Leftrightarrow n=4.$

Suy ra ${{u}_{4}}={{u}_{1}}.{{q}^{3}}=135.$ Vậy đáp án là D

Đáp án B

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$.

Ta có $20{{\text{a}}_{1}}-10{{\text{a}}_{2}}+{{a}_{3}}=2\left( {{q}^{2}}-10q+20 \right)$ $=2{{\left( q-5 \right)}^{2}}-10\ge -10,\forall q.$

Dấu bằng xảy ra khi $q=5.$

Suy ra ${{a}_{7}}={{a}_{1}}.{{q}^{6}}={{2.5}^{6}}=31250.$

Vậy phương án đúng là B

Đáp án B

Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.

+ Phương án $A:$ Các góc ${{5}^{0}},{{15}^{0}},{{45}^{0}},{{225}^{0}}$ không lập thành cấp số nhân vì

${{15}^{0}}={{3.5}^{0}};$ ${{45}^{0}}={{3.15}^{0}};$ ${{225}^{0}}\ne {{3.45}^{0}}.$

+ Phương án $B:$ Các góc ${{9}^{0}},{{27}^{0}},{{81}^{0}},{{243}^{0}}$ lập thành cấp số nhân và ${{9}^{0}}+{{27}^{0}}+{{81}^{0}}+{{243}^{0}}={{360}^{0}}.$ Hơn nữa, ${{9}^{0}}=\dfrac{1}{9}{{81}^{0}}$ nên B là phương án đúng.

+ Phương án C và $D:$ Kiểm tra như phương án A

Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là $a,aq,a{{q}^{2}},a{{q}^{3}},$ trong đó $q>1.$

Theo giả thiết, ta có $a=\dfrac{1}{9}a{{q}^{2}}$ nên $q=3.$

Suy ra các góc của tứ giác là $a,3\text{a},9\text{a},27\text{a}.$

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng ${{360}^{0}}$ nên ta có:

$a+3\text{a}+9\text{a}+27\text{a}={{360}^{0}}$ $\Leftrightarrow \text{a}={{9}^{0}}.$

Do đó, phương án đúng là B (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc ${{9}^{0}}$).

Đáp án A

Ta có ${{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540$ $\Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.$

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q=-3.$

Lại có ${{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.$

Vì $q=-3$ nên ${{u}_{1}}=2.$

Vậy phương án đúng là A

Đáp án A

Ta có ${{a}_{6}}=224$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{q}^{5}}=224$ $\Rightarrow q=2$ (do ${{a}_{1}}=7$).

Do ${{S}_{k}}=\dfrac{{{a}_{1}}\left( 1-{{q}^{k}} \right)}{1-q}=7\left( {{2}^{k}}-1 \right)$ nên ${{S}_{k}}=3577$ $\Leftrightarrow 7\left( {{2}^{k}}-1 \right)=3577$ $\Leftrightarrow {{2}^{k}}={{2}^{9}}$ $\Leftrightarrow k=9.$

Suy ra $T=10{{\text{a}}_{9}}=10{{\text{a}}_{1}}{{q}^{8}}=17920.$

Vậy phương án đúng là A

Đáp án A

Ta có ${{u}_{3}}={{S}_{3}}-{{S}_{2}}=9$ $\Rightarrow {{u}_{1}}{{q}^{2}}=9\Rightarrow {{u}_{1}}=\dfrac{9}{{{q}^{2}}}$

Vì ${{S}_{2}}=4$ nên ${{u}_{1}}+{{u}_{1}}q=4.$ Do đó $\dfrac{9}{{{q}^{2}}}+\dfrac{9}{q}=4$

$\Leftrightarrow 4{{q}^{2}}-9q-9=0$ $\Leftrightarrow q=3$ hoặc $q=-\dfrac{3}{4}.$

+ Với $q=3$ thì ${{u}_{1}}=1,$ ${{u}_{6}}={{u}_{1}}{{q}^{5}}=243.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{1-243}{1-3}=121.$

+ Với $q=-\dfrac{3}{4}$ thì ${{u}_{1}}=16,$ ${{u}_{6}}=-\dfrac{243}{64}.$

Suy ra ${{S}_{5}}=\dfrac{{{u}_{1}}-{{u}_{6}}}{1-q}=\dfrac{181}{16}.$

Vậy phương án đúng là A

Đáp án B

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân. Khi đó

$4{{u}_{3}}+2{{u}_{2}}-15{{u}_{1}}=2{{\left( 4q+1 \right)}^{2}}-122\ge -122,\forall q.$

Dấu bằng xảy ra khi $4q+1=0$ $\Leftrightarrow q=-\dfrac{1}{4}.$

Suy ra: ${{S}_{10}}={{u}_{1}}.\dfrac{1-{{q}^{10}}}{1-q}=8.\dfrac{1-{{\left( -\dfrac{1}{4} \right)}^{10}}}{1-\left( -\dfrac{1}{4} \right)}=\dfrac{2\left( {{4}^{10}}-1 \right)}{{{5.4}^{8}}}$

Vậy phương án đúng là B

Đáp án C

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, $q>0.$

Ta có ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}=2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$2{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}={{q}^{3}}+{{q}^{3}}+\dfrac{512}{{{q}^{6}}}\ge 3\sqrt[3]{{{q}^{3}}.{{q}^{3}}.\dfrac{512}{{{q}^{6}}}}=24.$

Suy ra ${{u}_{4}}+\dfrac{1024}{{{u}_{7}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $24$ khi ${{q}^{3}}=\dfrac{512}{{{q}^{6}}}$ $\Leftrightarrow q=2.$

Ta có ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{10}} \right)}{1-q}={{2}^{11}}-2;$ ${{S}_{10}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{20}} \right)}{1-q}={{2}^{21}}-2.$

Do đó $S={{S}_{20}}-{{S}_{10}}=2095104.$ Vậy phương án đúng là C

Đáp án A

Ta có ${{u}_{4}}+{{u}_{6}}=-540$ $\Leftrightarrow \left( {{u}_{3}}+{{u}_{5}} \right)q=-540.$

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được $q=-3.$ Lại có ${{u}_{3}}+{{u}_{5}}=180$ $\Leftrightarrow {{u}_{1}}\left( {{q}^{2}}+{{q}^{4}} \right)=180.$

Vì $q=-3$ nên ${{u}_{1}}=2.$ Suy ra ${{S}_{21}}=\dfrac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{21}} \right)}{1-q}=\dfrac{1}{2}\left( {{3}^{21}}+1 \right).$

Vậy phương án đúng là A

Đáp án B

Cách 1: Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-8}{1}=8.$

Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{8}=2$ là nghiệm của phương trình.

Thay $x=2$ vào phương trình đã cho, ta được

$4-2m=0$ $\Leftrightarrow m=2.$

Với $m=2,$ ta có phương trình ${{x}^{3}}-7{{\text{x}}^{2}}+14\text{x}-8=0$ $\Leftrightarrow x=1;x=2;x=4$

Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên $m=2$ là giá trị cần tìm. Vậy, B là phương án đúng.

Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.

Đáp án A

Ta có $-\dfrac{d}{a}=-\dfrac{-54}{2}=27.$

Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là $x=\sqrt[3]{27}=3$ phải là nghiệm của phương trình đã cho.

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-8=0$ $\Leftrightarrow m=2;m=-4.$

Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số $m$ nên $m=2$ và $m=-4$ là các giá trị thỏa mãn

Suy ra $P={{2}^{3}}+{{\left( -4 \right)}^{3}}=-56.$

Vậy phương án đúng là A

Đáp án B

Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng A là:

${{M}_{1}}=100+100.10%=110.$

Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng A là:

${{M}_{2}}=110+110.10%=121.$

Suy ra phương án đúng là B

Đáp án D.

Số tiền ban đầu là ${{M}_{0}}={{10}^{8}}$ (đồng).

Đặt $r=0,7%=0,007$.

Số tiền sau tháng thứ nhất là ${{M}_{1}}={{M}_{0}}+{{M}_{0}}r={{M}_{0}}\left( 1+r \right)$.

Số tiền sau tháng thứ hai là ${{M}_{2}}={{M}_{1}}+{{M}_{1}}r={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{2}}$.

Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là ${{M}_{6}}={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{6}}$.

Do đó ${{M}_{6}}={{10}^{8}}{{\left( 1,007 \right)}^{6}}$.

Đáp án C.

Đặt ${{P}_{0}}=2000000={{2.10}^{6}}$ và $r=1,2%=0,012$.

Gọi ${{P}_{n}}$ là số dân của tỉnh $M$ sau $n$ năm nữa.

Ta có: ${{P}_{n+1}}={{P}_{n}}+{{P}_{n}}r={{P}_{n}}\left( 1+r \right)$.

Suy ra $\left( {{P}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${{P}_{0}}$ và công bội $q=1+r$.

Do đó số dân của tỉnh $M$ sau $10$ năm nữa là: ${{P}_{9}}={{M}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{9}}={{2.10}^{6}}{{\left( 1,012 \right)}^{10}}\approx 2227000$.

Đáp án C.

Lúc đầu có ${{10}^{22}}$ tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với ${{u}_{1}}={{10}^{22}}$ và công bội $q=2$.

Do cứ $20$ phút phân đôi một lần nên sau $3$ giờ sẽ có $9$lần phân chia tế bào. Ta có ${{u}_{10}}$ là số tế bào nhận được sau $3$ giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau $3$ giờ là ${{u}_{10}}={{u}_{1}}{{q}^{9}}={{512.10}^{12}}$.

Đáp án A.

Gọi ${{u}_{0}}$ là diện tích đế tháp và ${{u}_{n}}$ là diện tích bề mặt trên của tầng thứ $n$, với $1\le n\le 11$. Theo giả thiết, ta có ${{u}_{n+1}}=\dfrac{1}{2}{{u}_{n}}0\le n\le 10$.

Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ lập thành cấp số nhân với số hạng đầu ${{u}_{0}}=12288$ và công bội $q=\dfrac{1}{2}$.

Diện tích mặt trên cùng của tháp là ${{u}_{11}}={{u}_{0}}.{{q}^{11}}=12288.{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{11}}=6\,{{\text{m}}^{2}}$.

Đáp án D.

Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.

+ Phương án A:Ta có ${{a}_{2}}=3;{{a}_{2}}=3;…$ Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng ${{a}_{n}}=3,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{b}_{n}}=1,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{b}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được ${{c}_{n}}=2,\forall n\ge 1$. Do đó $\left( {{c}_{n}} \right)$ là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng  (công sai bằng $0$) vừa là cấp số nhân  (công bội bằng $1$).

+ Phương án D: Ta có: ${{d}_{1}}=-3,{{d}_{2}}=3,{{d}_{3}}=3$. Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân  nên dãy số $\left( {{d}_{n}} \right)$ không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .

Đáp án A.

+ Ba số $x+6y,5x+2y,8x+y$ lập thành cấp số cộng nên $\left( x+6y \right)+\left( 8x+y \right)=2\left( 5x+2y \right)\Leftrightarrow x=3y$.

+ Ba số $x+\dfrac{5}{3},y-1,2x-3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left( x+\dfrac{5}{3} \right)\left( 2x-3y \right)={{\left( y-1 \right)}^{2}}$.

Thay $x=3y$ vào ta được $8{{y}^{2}}+7y-1=0\Leftrightarrow y=-1$ hoặc $y=\dfrac{1}{8}$.

Với $y=-1$ thì $x=-3$; với $y=\dfrac{1}{8}$ thì $x=\dfrac{3}{8}$.

Đáp án C.

Theo tính chất của cấp số cộng , ta có $x+z=2y$.

Kết hợp với giả thiết $x+y+z=21$, ta suy ra $3y=21\Leftrightarrow y=7$.

Gọi D là công sai của cấp số cộng thì $x=y-d=7-d$ và $z=y+d=7+d$.

Sau khi thêm các số $2;3;9$ vào ba số $x,y,z$ ta được ba số là $x+2,y+3,z+9$ hay $9-d,10,16+d$.

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $\left( 9-d \right)\left( 16+d \right)={{10}^{2}}\Leftrightarrow {{d}^{2}}+7d-44=0$.

Giải phương trình ta được $d=-11$ hoặc $d=4$.

Với $d=-11$, cấp số cộng $18,7,-4$. Lúc này $F=389$.

Với $d=4$, cấp số cộng $3,7,11$. Lúc này $F=179$.