Tính tăng, giảm của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Câu 1
Trong các dãy số dưới đây dãy số nào là dãy số tăng ?
[A]. Dãy \[\left( {{a}_{n}} \right)\], với \[{{a}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}.\sin \dfrac{\pi }{n},\forall n\in \mathbb{N}*\].
[B]. Dãy \[\left( {{b}_{n}} \right)\], với \[{{b}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{2n}}.\left( {{5}^{n}}+1 \right),\forall n\in \mathbb{N}*\].
[C]. Dãy \[\left( {{c}_{n}} \right)\], với \[{{c}_{n}}=\dfrac{1}{n+\sqrt{n+1}},\forall n\in \mathbb{N}*\].
[D]. Dãy \[\left( {{d}_{n}} \right)\], với \[{{d}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+1},\forall n\in \mathbb{N}*\].
Đáp án B.
- Dãy số \[({{a}_{n}})\]là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
- Với dãy \[({{b}_{n}})\], ta có \[{{b}_{n}}={{5}^{n}}+1\](do \[{{(-1)}^{2n}}=1).\] Vì \[{{b}_{n+1}}={{5}^{n+1}}+1={{5.5}^{n}}+1>{{b}_{n}},\forall n\ge 1\]nên \[({{b}_{n}})\]là một dãy số tăng.
- Dãy số \[({{c}_{n}})\]là một dãy số giảm vì \[{{c}_{n+1}}=\dfrac{1}{n+1+\sqrt{n+2}}<\dfrac{1}{n+\sqrt{n+1}}={{c}_{n}},\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{d}_{n}})\]là một dãy số giảm vì \[{{d}_{n+1}}=\dfrac{n+1}{{{n}^{2}}+2n+2}<\dfrac{n}{{{n}^{2}}+1}={{d}_{n}},\forall n\ge 1.\]
Câu 2
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là dãy số giảm ?
[A]. Dãy \[\left( {{a}_{n}} \right)\], với \[{{a}_{n}}={{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{n}}\]
[B]. Dãy \[\left( {{b}_{n}} \right)\] với \[{{b}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+1}{n}\].
[C]. Dãy \[\left( {{c}_{n}} \right)\], với \[{{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{n}^{3}}+1}\].
[D]. Dãy \[\left( {{d}_{n}} \right)\], với \[{{d}_{n}}={{3.2}^{n}}\].
Đáp án C.
- Dãy số \[({{a}_{n}})\]là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
- Dãy số \[({{b}_{n}})\]là một dãy số tăng vì \[{{b}_{n}}=n+\dfrac{1}{n}<n+1+\dfrac{1}{n+1}={{b}_{n+1}},\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{c}_{n}})\]là một dãy số giảm vì \[{{c}_{n}}=\dfrac{1}{{{n}^{3}}+1}>\dfrac{1}{{{(n+1)}^{3}}+1}={{c}_{n+1}},\forall n\ge 1.\]
- Dãy số \[({{d}_{n}})\]là một dãy số tăng vì \[{{d}_{n}}={{3.2}^{n}}<{{3.2}^{n+1}}={{d}_{n+1}},\forall n\ge 1.\]
Câu 3
Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] với \[{{x}_{n}}=\dfrac{an+4}{n+2}\]. Dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số tăng khi:
[A]. \[a=2\].
[B]. \[a>2\].
[C]. \[a<2\].
[D]. \[a>1\].
Đáp án B.
Ta có \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{a(n+1)+4}{n+3}.\] Xét hiệu \[{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}=\dfrac{a(n+1)+4}{n+3}-\dfrac{an+4}{n+2}=\dfrac{2a-4}{(n+2)(n+3)}.\]
\[({{x}_{n}})\]là dãy tăng khi và chỉ khi \[{{x}_{n+1}}-{{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1\Leftrightarrow 2a-4>0\Leftrightarrow a>2.\]
Câu 4
Cho hai dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] với \[{{x}_{n}}=\dfrac{\left( n+1 \right)!}{{{2}^{n}}}\] và \[\left( {{y}_{n}} \right)\] với \[{{y}_{n}}=n+{{\sin }^{2}}\left( n+1 \right)\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[A]. \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số giảm, \[\left( {{y}_{n}} \right)\] là dãy số giảm.
[B]. \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số giảm, \[\left( {{y}_{n}} \right)\] là dãy số tăng.
[C]. \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số tăng, \[\left( {{y}_{n}} \right)\] là dãy số giảm.
[D]. \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số tăng, là dãy số tăng.
Đáp án D.
Ta có \[{{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1\] và \[\dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}=\dfrac{n+2}{2}>1,\forall n\ge 1\]nên \[({{x}_{n}})\]là dãy số tăng.
Ta có \[{{y}_{n+1}}-{{y}_{n}}={{\sin }^{2}}(n+1)+1-{{\sin }^{2}}n>0,\forall n\ge 1\] nên \[({{y}_{n}})\]cũng là dãy số tăng.