Phương pháp chứng minh quy nạp toán học, trắc nghiệm toán 11
Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
– Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .
– Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với .
Bài tập chứng minh quy nạp toán học
Câu 1
Tổng $S$ các góc trong của một đa giác lồi $n$ cạnh, $n\ge 3$, là:
[A]. $S=n.180{}^\circ $.
[B]. $S=\left( n-2 \right).180{}^\circ $.
[C]. $S=\left( n-1 \right).180{}^\circ $.
[D]. $S=\left( n-3 \right).180{}^\circ $.
Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng $180{}^\circ $ và tổng các góc trong từ giác bằng $360{}^\circ $, chúng ta dự đoán được $S=\left( n-2 \right).180{}^\circ $.
Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với $n=3$ thì $S=180{}^\circ $ (loại luôn được các phương án A, C và D); với $n=4$ thì $S=360{}^\circ $ (kiểm nghiệm phương án B lần nữa).
Câu 2
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, hãy rút gọn biểu thức $S=1.4+2.7+3.10+…+n\left( 3n+1 \right)$.
[A]. $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
[B]. $S=n{{\left( n+2 \right)}^{2}}$.
[C]. $S=n\left( n+1 \right)$.
[D]. $S=2n\left( n+1 \right)$.
Đáp án A.
Để chọn được $S$ đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của $n$.
Với $n=1$ thì $S=1.4=4$ (loại ngay được phương án B và C); với $n=2$ thì $S=1.4+2.7=18$ (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính $S$ trong các trường hợp $n=1,S=4;\text{ }n=2,S=18;\text{ }n=3,S=48$ ta dự đoán được công thức $S=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Cách 3: Ta tính $S$ dựa vào các tổng đã biết kết quả như $1+2+…+n=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$ và ${{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$. Ta có: $S=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=n{{\left( n+1 \right)}^{2}}$.
Câu 3
Kí hiệu $k!=k\left( k-1 \right)…2.1,\forall k\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{S}_{n}}=1.1!+2.2!+…+n.n!$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
[A]. ${{S}_{n}}=2.n!$.
[B]. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!-1$.
[C]. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!$.
[D]. ${{S}_{n}}=\left( n+1 \right)!+1$.
Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.
Với $n=1$ thì ${{S}_{1}}=1.1!=1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn ${{S}_{n}}$ dựa vào việc phân tích phần tử đại diện $k.k!=\left( k+1-1 \right).k!=\left( k+1 \right).k!-k!=\left( k+1 \right)!-k!$. Suy ra: ${{S}_{n}}=\left( 2!-1! \right)+\left( 3!-2! \right)+…+\left( \left( n+1 \right)!-n! \right)=\left( n+1 \right)!-1$.
Câu 4
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{T}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$và ${{M}_{n}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
[A]. $\dfrac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\dfrac{4n+1}{2n+2}$.
[B]. $\dfrac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\dfrac{4n+1}{2n+1}$.
[C]. $\dfrac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\dfrac{8n+1}{n+1}$.
[D]. $\dfrac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\dfrac{2n+1}{n+1}$.
Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.
Với $n=1$ thì ${{T}_{1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}=5;{{M}_{1}}={{2}^{2}}=4$nên $\dfrac{{{T}_{1}}}{{{M}_{1}}}=\dfrac{5}{4}$ (loại ngay được các phương án B, C, D).
Cách 2: Chúng ta tính ${{T}_{n}},{{M}_{n}}$ dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: ${{T}_{n}}=\dfrac{2n\left( 2n+1 \right)\left( 4n+1 \right)}{6};{{M}_{n}}=\dfrac{2n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{3}$. Suy ra $\dfrac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\dfrac{4n+1}{2n+2}$.
Câu 5
Tìm số nguyên dương $p$ nhỏ nhất để ${{2}^{n}}>2n+1$ với mọi số nguyên $n\ge p$.
[A]. $p=5$.
[B]. $p=3$.
[C]. $p=4$.
[D]. $p=2$.
Đáp án B.
Dễ thấy $p=2$thì bất đẳng thức ${{2}^{p}}>2p+1$ là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với $p=3$ ta thấy ${{2}^{p}}>2p+1$ là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng ${{2}^{n}}>2n+1$ với mọi $n\ge 3$. Vậy $p=3$ là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Câu 6
Tìm tất cả các giá trị của $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$sao cho ${{2}^{n}}>{{n}^{2}}$.
[A]. $n\ge 5$.
[B]. $n=1$ hoặc $n\ge 6$.
[C]. $n\ge 7$.
[D]. $n=1$ hoặc $n\ge 5$.
Đáp án D.
Kiểm tra với $n=1$ ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với $n=1$ ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng ${{2}^{n}}>{{n}^{2}},\forall n\ge 5$.
Câu 7
Với mọi số nguyên dương $n$, ta có: $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+…+\dfrac{1}{\left( 3n-1 \right)\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{an+b}{cn+4}$, trong đó $a,b,c$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}$.
[A]. $T=3$.
[B]. $T=6$.
[C]. $T=43$.
[D]. $T=42$.
Đáp án B.
Cách 1: Với chú ý $\dfrac{1}{\left( 3k-1 \right)\left( 3k+2 \right)}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{3k-1}-\dfrac{1}{3k+2} \right)$, chúng ta có: $\dfrac{1}{2.5}+\dfrac{1}{5.8}+…+\dfrac{1}{\left( 3n-1 \right)\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+…+\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2} \right)$
=$\dfrac{1}{3}.\dfrac{3n}{2\left( 3n+2 \right)}=\dfrac{n}{6n+4}$.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: $a=1,b=0,c=6$.
Suy ra $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=6$.
Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3$ ta được: $\dfrac{a+b}{c=4}=\dfrac{1}{10};\dfrac{2a+b}{2c+4}=\dfrac{1}{8};\dfrac{3x+b}{3c+4}=\dfrac{3}{22}$.
Giải hệ phương trình trên ta được $a=1,b=0,c=6$. Suy ra $T=a{{b}^{2}}+b{{c}^{2}}+c{{a}^{2}}=6$
Câu 8
Với mọi số nguyên dương $n\ge 2$, ta có: $\left( 1-\dfrac{1}{4} \right)\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)…\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)=\dfrac{an+2}{bn+4}$, trong đó $a,b$ là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.
[A]. $P=5$.
[B]. $P=9$.
[C]. $P=20$.
[D]. $P=36$.
Đáp án C.
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: $1-\dfrac{1}{{{k}^{2}}}=\dfrac{k-1}{k}.\dfrac{k+1}{k}$. Suy ra $\left( 1-\dfrac{1}{4} \right)\left( 1-\dfrac{1}{9} \right)…\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)$ $=\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{4}{3}…\dfrac{n-1}{n}.\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{n+1}{2n}=\dfrac{2n+2}{4n}$.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: $a=2,b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.
Cách 2: Cho $n=2,n=3$ ta được $\dfrac{a+1}{b}=\dfrac{3}{4};\dfrac{3a+2}{3b}=\dfrac{2}{3}$. Giải hệ phương trình trren ta được $a=2;b=4$. Suy ra $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=20$.
Câu 9
Biết rằng ${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+…+{{n}^{3}}=a{{n}^{4}}+b{{n}^{3}}+c{{n}^{2}}+dn+e,\text{ }\forall \text{n}\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Tính giá trị biểu thức $M=a+b+c+d+e$.
[A]. $M=4$.
[B]. $M=1$.
[C]. $M=\dfrac{1}{4}$.
[D]. $M=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án B.
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: ${{1}^{3}}+{{2}^{3}}+…+{{n}^{3}}=\dfrac{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}=\dfrac{{{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+{{n}^{2}}}{4}$. So sánh cách hệ số, ta được $a=\dfrac{1}{4};b=\dfrac{1}{2};c=\dfrac{1}{4};d=e=0$.
Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3,n=4,n=5$, ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn $a,b,c,d,e$. Giải hệ phương trình đó, ta tìm được $a=\dfrac{1}{4};b=\dfrac{1}{2};c=\dfrac{1}{4};d=e=0$. Suy ra $M=a+b+c+d+e=1$.
Câu 10
Biết rằng mọi số nguyên dương $n$, ta có $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)={{a}_{1}}{{n}^{3}}+{{b}_{1}}{{n}^{2}}+{{c}_{1}}n+{{d}_{1}}$ và $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)={{a}_{2}}{{n}^{3}}+{{b}_{2}}{{n}^{2}}+{{c}_{2}}n+{{d}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}$.
[A]. $T=2$.
[B]. $T=1$.
[C]. $M=\dfrac{4}{3}$.
[D]. $T=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+) $1.2+2.3+…+n\left( n+1 \right)=\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)+\left( 1+2+…+n \right)=\dfrac{1}{3}{{n}^{3}}+{{n}^{2}}+\dfrac{2}{3}n$.
Suy ra ${{a}_{1}}=\dfrac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\dfrac{2}{3};{{d}_{1}}=0$.
+) $1.2+2.5+3.8+…+n\left( 3n-1 \right)=3\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}} \right)-\left( 1+2+…+n \right)={{n}^{3}}+{{n}^{2}}.$
Suy ra ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.
Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\dfrac{4}{3}$.
Cách 2: Cho $n=1,n=2,n=3,n=4$ và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ${{a}_{1}}=\dfrac{1}{3};{{b}_{1}}=1;{{c}_{1}}=\dfrac{2}{3};{{d}_{1}}=0$; ${{a}_{2}}={{b}_{2}}=1;{{c}_{2}}={{d}_{2}}=0$.
Do đó $T={{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}+{{c}_{1}}{{c}_{2}}+{{d}_{1}}{{d}_{2}}=\dfrac{4}{3}$.
Câu 11
Biết rằng ${{1}^{k}}+{{2}^{k}}+…+{{n}^{k}}$, trong đó $n,k$ là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
${{S}_{1}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$, ${{S}_{2}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$, ${{S}_{3}}=\dfrac{{{n}^{2}}{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{4}$ và ${{S}_{4}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)\left( 3{{n}^{2}}+3n-1 \right)}{30}$.
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
[A]. $4$.
[B]. $1$.
[C]. $2$.
[D]. $3$.
Đáp án D.
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có ${{S}_{3}}=\dfrac{{{n}^{2}}{{\left( n-1 \right)}^{2}}}{4}$ là sai.
Câu 12
Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, ta xét các mệnh đề $P:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $2”$; $Q:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $3”$ và
$Q:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $6”$. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
[A]. $3$.
[B]. $0$.
[C]. $1$.
[D]. $2$.
Đáp án A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng ${{7}^{n}}+5$ chia hết cho 6.
Thật vậy: Với \[n=1\] thì ${{7}^{1}}+5=12\vdots 6$.
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là ${{7}^{k}}+5$ chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, nghĩa là phỉa chứng minh ${{7}^{k+1}}+5$ chia hết cho 6.
Ta có: ${{7}^{k+1}}+5=7\left( {{7}^{k}}+5 \right)-30$.
Theo giả thiết quy nạp thì ${{7}^{k}}+5$ chia hết cho 6 nên ${{7}^{k+1}}+5=7\left( {{7}^{k}}+5 \right)-30$ cũng chia hết cho 6.
Vậy ${{7}^{n}}+5$ chia hết cho 6 với mọi $n\ge 1$. Do đó các mệnh đề $P$ và $Q$ cũng đúng.
Câu 13
Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương $n$ bất đẳng thức $n\ge {{2}^{n-1}}$”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
Bước 1: Với $n=1$, ta có: $n!=1!=1$ và ${{2}^{n-1}}={{2}^{1-1}}={{2}^{0}}=1$. Vậy $n!\ge {{2}^{n-1}}$ đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với $n=k\ge 1$, tức là ta có $k!\ge {{2}^{k-1}}$.
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$, nghĩa là phải chứng minh $\left( k+1 \right)!\ge {{2}^{k}}$.
Bước 3 : Ta có $\left( k+1 \right)!=\left( k+1 \right).k!\ge {{2.2}^{k-1}}={{2}^{k}}$. Vậy $n!\ge {{2}^{n-1}}$ với mọi số nguyên dương $n$.
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
[A]. Đúng.
[B]. Sai từ bước 2.
[C]. Sai từ bước 1.
[D]. Sai từ bước 3.
Đáp án A.
Câu 14
Biết rằng $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\dfrac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong đó $a,b,c,d$ và $n$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)$. là :
[A]. $T=75$.
[B]. $T=364$.
[C]. $T=300$.
[D]. $T=256$.
Đáp án C.
Phân tích phần tử đại diện, ta có: $\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{k\left( k+1 \right)}-\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]$.
Suy ra: $\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$
$=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-.\dfrac{1}{3.4}+…+\dfrac{1}{n\left( n+1 \right)}-\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$=$\dfrac{{{n}^{2}}+3n}{4{{n}^{2}}+12n+8}=\dfrac{2{{n}^{2}}+6n}{8{{n}^{2}}+24n+16}$.
Đối chiếu với hệ số, ta được: $a=2;b=6;c=8;d=24$.
Suy ra: $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)=300$.