Xác định số hạng của dãy số, trắc nghiệm toán 11
Câu 1
Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[A]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+5}}\].
[B]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+3}}\].
[C]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}\].
[D]. \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+1}}\].
Đáp án C.
Ta có \[{{x}_{n}}={{\left( \dfrac{n-1}{n+1} \right)}^{2n+3}}\]nên \[{{x}_{n+1}}={{\left( \dfrac{(n+1)-1}{(n+1)+1} \right)}^{2(n+1)+3}}={{\left( \dfrac{n}{n+2} \right)}^{2n+5}}.\]
Câu 2
Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{n}}={{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{4}+\cos \dfrac{2n\pi }{3}\]. Bốn số hạng đầu của dãy số đó là:
[A]. \[0,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\].
[B]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\].
[C]. \[1,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\].
[D]. \[0,\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\].
Đáp án [A].
Ta có \[{{y}_{1}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{2\pi }{3}=0;{{y}_{2}}={{\sin }^{2}}\dfrac{\pi }{4}+c\text{os}\dfrac{4\pi }{3}=\dfrac{1}{2}.\] (loại phương án B và D) và \[{{y}_{3}}={{\sin }^{2}}\dfrac{3\pi }{4}+c\text{os}2\pi =\dfrac{3}{2}.\] (loại phương án C).
Câu 3
Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}={{y}_{2}}=1\] và \[{{y}_{n+2}}={{y}_{n+1}}+{{y}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:
[A]. \[1,1,2,4,7\].
[B]. \[2,3,5,8,11\].
[C]. \[1,2,3,5,8\].
[D]. \[1,1,2,3,5\].
Đáp án D.
Ta có \[{{y}_{3}}=2;{{y}_{4}}=3\]nên loại các phương án còn lại.
Câu 4
Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=-1\] và \[{{u}_{n}}=2.n.{{u}_{n-1}}\] với mọi \[n\ge 2\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[A]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}.11!\].
[B]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].
[C]. \[{{u}_{11}}={{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].
[D]. \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}{{.11}^{10}}\].
Đáp án B.
Ta có \[{{u}_{2}}={{2}^{2}}{{u}_{1}};{{u}_{3}}=6{{u}_{2}}={{2}^{2}}.2.3{{u}_{1}};{{u}_{4}}=8{{u}_{3}}={{2}^{3}}.2.3.4{{u}_{1}}.\]Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng \[{{u}_{n}}={{2}^{n-1}}.n!{{u}_{1}}=-{{2}^{n-1}}.n!\]. Do đó \[{{u}_{11}}=-{{2}^{10}}.11!\].
Câu 5
Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{u}_{1}}=\dfrac{1}{2}\] và \[{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+2n\] với mọi \[n\ge 2\]. Khi đó \[{{u}_{50}}\] bằng:
[A]. \[1274,5\].
[B]. \[2548,5\].
[C]. \[5096,5\].
[D]. \[2550,5\].
Đáp án [D].
Ta có \[{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}+2(1+2+..+n)=\dfrac{1}{2}+n(n+1)\]. Suy ra \[{{u}_{50}}=\dfrac{1}{2}+50.51=2550,5.\]
Câu 6
Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có \[{{u}_{n}}=\dfrac{n+1}{2n+1}\]. Số \[\dfrac{8}{15}\] là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] ?
[A]. \[8\].
[B]. \[6\].
[C]. \[5\].
[D]. \[7\].
Đáp án [D].
Giải phương trình \[\dfrac{n+1}{2n+1}=\dfrac{8}{15}\]ta được \[n=7.\]
Câu 7
Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=-{{n}^{2}}+4n+11,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].
[A]. \[14\].
[B]. \[15\].
[C]. \[13\].
[D]. \[12\].
Đáp án [B].
Ta có \[{{a}_{n}}=-{{(n-2)}^{2}}+15\le 15,\forall n\ge 1.\] Dấu bằng xảy ra khi \[n-2=0\Leftrightarrow n=2.\]
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Câu 8
Cho dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\] có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \[\left( {{a}_{n}} \right)\].
[A]. \[\dfrac{1}{20}\].
[B]. \[\dfrac{1}{30}\].
[C]. \[\dfrac{1}{25}\].
[D]. \[\dfrac{1}{21}\].
Đáp án [A].
Ta có \[{{a}_{n}}=\dfrac{n}{{{n}^{2}}+100}\le \dfrac{n}{2\sqrt{{{n}^{2}}.100}}=\dfrac{1}{20}.\] Dấu bằng xảy ra khi \[{{n}^{2}}=100\Leftrightarrow n=10.\]
Vậy số hạng lớn nhất của dãy là số hạng bằng \[\dfrac{1}{20}\].
Câu 9
Cho dãy số \[\left( {{y}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{y}_{1}}=2\] và \[{{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+{{n}^{2}}-3n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Tổng \[{{S}_{4}}\] của \[4\] số hạng đầu tiên của dãy số là:
[A]. \[{{S}_{4}}=20\].
[B]. \[{{S}_{4}}=10\].
[C]. \[{{S}_{4}}=30\].
[D]. \[{{S}_{4}}=14\].
Đáp án A.
Ta tính được \[{{y}_{2}}=2;{{y}_{3}}=4;{{y}_{4}}=12\Rightarrow {{S}_{4}}=20.\]
Câu 10
Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=5\] và \[{{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+n,\forall n\in \mathbb{N}*\]. Số hạng tổng quát của dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là:
[A]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}\].
[B]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{5{{n}^{2}}-5n}{2}\].
[C]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}\].
[D]. \[{{x}_{n}}=\dfrac{{{n}^{2}}+3n+12}{2}\].
Đáp án A.
Cách 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Ta có \[{{x}_{n}}={{x}_{1}}+(1+2+…+n-1)\Leftrightarrow {{x}_{n}}=5+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}.\]
Cách 2: Kiểm tra từng phương án cho đến khi tìm được phương án đúng.
Phương án A: \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{(n+1)}^{2}}-(n+1)+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}+n+10}{2}=\dfrac{{{n}^{2}}-n+10}{2}+n={{x}_{n}}+n.\]
Cách 3: Với \[n=1\Rightarrow {{x}_{1}}=5\] loại các phương án còn lại B, C, D.
Câu 11
Cho dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] xác định bởi \[{{x}_{1}}=\dfrac{2}{3}\] và \[{{x}_{n+1}}=\dfrac{{{x}_{n}}}{2\left( 2n+1 \right){{x}_{n}}+1},\forall n\in \mathbb{N}*\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[A]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}\].
[B]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{39999}{2}\].
[C]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40001}\].
[D]. \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{40803}\].
Đáp án A.
Ta có \[{{x}_{n}}>0,\forall n\ge 1\] và \[\dfrac{1}{{{x}_{n+1}}}=2(2n+1)+\dfrac{1}{{{x}_{n}}},\forall n\ge 1.\]
Suy ra \[\dfrac{1}{{{x}_{n}}}=\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+4(1+2+…+n-1)+2(n-1)=\dfrac{3}{2}+2n(n-1)+2(n-1)=\dfrac{4{{n}^{2}}-1}{2}.\]
Suy ra \[{{x}_{n}}=\dfrac{2}{4{{n}^{2}}-1}.\] Do đó \[{{x}_{100}}=\dfrac{2}{39999}.\]