Bài tập tính chất của dãy số, trắc nghiệm toán 11

Đáp án A.

Ta có \[{{x}_{n+2}}={{2.3}^{n+2}}-{{5.2}^{n+2}}={{18.3}^{n}}-{{20.2}^{n}};{{x}_{n+1}}={{2.3}^{n+1}}-{{5.2}^{n+1}}={{6.3}^{n}}-{{10.2}^{n}}\].

• Phương án A: \[{{x}_{n+2}}-5{{x}_{n+1}}+6{{x}_{n}}=0.\]
• Phương án B: \[{{x}_{n+2}}-6{{x}_{n+1}}+5{{x}_{n}}=-{{8.3}^{n}}+{{15.2}^{n}}\ne 0.\]
• Phương án C: \[{{x}_{n+2}}+5{{x}_{n+1}}-6{{x}_{n}}={{36.3}^{n}}-{{40.2}^{n}}\ne 0.\]
• Phương án D: \[{{x}_{n+2}}+6{{x}_{n+1}}-5{{x}_{n}}={{44.3}^{n}}-{{55.2}^{n}}\ne 0.\]

Đáp án D.

• Phương án A: \[\dfrac{{{u}_{1}}+{{u}_{9}}}{2}=\dfrac{3+{{3}^{9}}}{2}\ne {{3}^{5}}={{u}_{5}}.\]
• Phương án B: \[\dfrac{{{u}_{2}}.{{u}_{4}}}{2}=\dfrac{{{3}^{6}}}{2}\ne {{3}^{3}}={{u}_{3}}.\]
• Phương án C: \[1+{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{100}}>{{u}_{100}}>\dfrac{{{u}_{100}}-1}{2}.\]
• Phương án D: \[{{u}_{1}}.{{u}_{2}}…{{u}_{100}}={{3}^{1+2+…+100}}={{3}^{5050}}={{u}_{5050}}.\]

Đáp án C.

• Phương án A:

\[{{a}_{n+12}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+12)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+6\pi  \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]

• Phương án B: \[{{a}_{n+8}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+8)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+4\pi \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]
• Phương án C: \[{{a}_{n+9}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+9)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+4)\pi }{6}+4\pi \right)=2017\cos \dfrac{(3n+4)\pi }{6}\ne {{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]
• Phương án D:

\[{{a}_{n+4}}=2017\cos \dfrac{\left[ 3(n+4)+1 \right]\pi }{6}=2017\cos \left( \dfrac{(3n+1)\pi }{6}+2\pi  \right)=2017\cos \dfrac{(3n+1)\pi }{6}={{a}_{n}}.\forall n\ge 1.\]

Lưu ý: Quan sát vào các chỉ số dưới của số hạng tổng quát, ta thấy ở C có sự khác biệt so với ba phương án trên nên ta có thể kiểm tra ngay phương án C trước.

Đáp án A.

Sáu số hạng đầu tiên của dãy là 1;2;0;1;2;0.

Từ đây ta dự đoán \[{{a}_{n+3}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n+3}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Mặt khác \[2018=3.672+2\] nên \[{{a}_{2018}}={{a}_{2}}.\]

Đáp án B.

Trước hết ta kiểm tra phương án với \[p\]nhỏ nhất. Viết 10 số hạng đầu tiên của \[({{a}_{n}}):\]

\[\begin{align}
& {{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4. \\
\end{align}\]

Dễ dàng thấy \[{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4\ne 1={{a}_{1}}\] nên phương án A là sai.

Cách 1: Ta viết thêm 4 số hạng nữa của dãy \[({{a}_{n}}):\] ta được

\[\begin{align}
& ({{a}_{n}}):{{a}_{1}}=1;{{a}_{1}}=2;{{a}_{3}}=2\sqrt{3}-1;{{a}_{4}}=4-\sqrt{3};{{a}_{5}}=2\sqrt{3}-2;{{a}_{6}}=2-\sqrt{3};{{a}_{7}}=-1; \\
& {{a}_{8}}=-2;{{a}_{9}}=1-2\sqrt{3};{{a}_{10}}=\sqrt{3}-4;{{a}_{11}}=2-2\sqrt{3};{{a}_{12}}=\sqrt{3}-2;{{a}_{13}}=1;{{a}_{14}}=2. \\
\end{align}\]

Từ đây ta dự đoán được \[{{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được \[{{a}_{n+12}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\] Vậy số nguyên dương cần tìm là \[p=12.\]

Cách 2: Sau khi viết 10 số hạng của dãy ta có thể đoán được \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]Như vậy 6 là số nguyên dương nhỏ nhất để \[{{a}_{n+6}}=-{{a}_{n}},\forall n\ge 1.\] Do đó \[{{a}_{n+12}}={{a}_{\left( n+6 \right)+6}}=-{{a}_{n+6}}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Suy ra số cần tìm là \[p=12.\]

Đáp án D.

• Phương án A: Ta có \[{{a}_{1}}=1;{{a}_{2}}=\dfrac{2018}{1+2017}=1;{{a}_{3}}=1\]. Từ đây ta dự đoán \[{{a}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng \[{{a}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]Suy ra \[\left( {{a}_{n}} \right)\] là dãy số không đổi. Do đó phương án A đúng.

• Phương án B: Ta có \[{{b}_{n+2}}=\tan \left[ 2(n+2)+1 \right]\dfrac{\pi }{4}=\tan \left[ (2n+1)\dfrac{\pi }{4}+\pi \right]=\tan (2n+1)\dfrac{\pi }{4}={{a}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Vậy \[{{b}_{n+2}}={{b}_{n}},\forall n\ge 1.\] Do đóphương án B là đúng.

• Phương án C: Ta có \[{{c}_{n}}=1,\forall n\ge 1.\]nên dãy số \[\left( {{c}_{n}} \right)\]là dãy số không đổi. Suy ra \[\left( {{c}_{n}} \right)\]là dãy số bị chặn. Do đó phương án C là đúng.
• Phương án D: Ta có \[{{d}_{2n}}=\cos (2n\pi )=1=\cos (4n\pi )={{d}_{4n}}.\] Suy ra khẳng định \[\left( {{d}_{n}} \right)\]là một dãy số giảm là khẳng định sai.

Đáp án C.

Ta có \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{2}({{u}_{n}}-{{u}_{n-1}})=…=\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}({{u}_{2}}-{{u}_{1}}).\] Từ đó ta tính được \[{{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}.\]

Do \[{{u}_{n+2}}-{{u}_{n}}=\dfrac{1}{{{2}^{n}}}-\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}=-\dfrac{1}{{{2}^{n}}}<0,\forall n\ge 1\] nên \[\left( {{u}_{n}} \right)\]là dãy số giảm

Ta có \[1<{{u}_{n}}=1+\dfrac{1}{{{2}^{n-1}}}\le 2,\forall n\ge 1\] nên \[\left( {{u}_{n}} \right)\] là dãy số bị chặn. Suy ra phương án đúng là C.

Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có \[{{u}_{n+1}}^{2}=u_{n}^{2}+2,\forall n\ge 1.\] Suy ra \[u_{n}^{2}=u_{1}^{2}+2(n-1)=2n-1.\]

Do đó \[{{S}_{n}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{n}^{2}=2(1+2+…+n)-n=n(n+1)-n={{n}^{2}}.\]

Vậy \[{{S}_{2018}}={{2018}^{2}}.\]

Đáp án A.

Dựa vào chu kì của hàm số \[y=\sin x;y=\cos x,\] ta có \[{{z}_{n+12}}={{z}_{n}},\forall n\ge 1.\]

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là \[S=\left\{ {{z}_{1}};{{z}_{2}};…;{{z}_{12}} \right\}=\left\{ -3;-2;-1;0;2 \right\}.\]

Suy ra \[M=2;m=-3.\]Do đó \[T=13.\]

Đáp án C.

Dễ chỉ ra được \[{{u}_{n}}>0,\forall n\ge 1.\]Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có \[\dfrac{1}{{{u}_{n+1}}}=\dfrac{1}{{{u}_{n}}}+2n+2,\forall n\ge 1.\]

Suy ra \[\dfrac{1}{{{u}_{n}}}=\dfrac{1}{{{u}_{1}}}+2(1+2+..+n-1)+2(n-1)\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{u}_{n}}}=2+n(n-1)+2(n-1)={{n}^{2}}+n\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{1}{n(n+1)}.\]

Do đó \[{{u}_{n}}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1},\forall n\ge 1.\]

Vậy \[{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.\] Vì \[{{S}_{n}}<\dfrac{2017}{2018}\]nên \[\dfrac{n}{n+1}<\dfrac{2017}{2018}\Rightarrow n<2017.\]

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để \[{{S}_{n}}<\dfrac{2017}{2018}\]là \[n=2016\]. Vì vậy phương án đúng là C.