Bài tập tổng hợp dao động điều hòa, vật lí 11 DAO ĐỘNG 2018
Bài tập tổng hợp dao động điều hòa, vật lí 11
Câu 1.
Cho hai dao động cùng phương \[{{x}_{1}}~=2cos\left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2~}}=5cos\left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\]. Phương trình dao động tổng hợp là
[A]. \[x=8cos\left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=3cos\left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=5cos\left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=8cos\left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Bấm máy $$ 2\angle \frac{\pi }{2}+5\angle \frac{-\pi }{2}=3\angle \frac{-\pi }{2} $$
Phương trình dao động tổng hợp là \[x=3cos\left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
Câu 2.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, cùng vị trí cân bằng. Hai dao động này có biên độ lần lượt bằng 4 cm và 12 cm. Biên độ dao động của vật có thể là
[A]. 48 cm.
[B]. 4 cm.
[C]. 3 cm.
[D]. 9 cm.
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Biên độ dao động tổng hợp
$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)} $$
\[{{A}_{2}}-{{A}_{1}}\le A\le {{A}_{2}}+{{A}_{1}}\Rightarrow 8\,cm\le A\le 16\,cm. \]
Vậy biên độ dao động tổng hợp có thể bằng 9 cm.
Câu 3.
Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương. Phương trình của hai dao động thành phần trên trục Ox là \[{{x}_{1}}~=3sin\left( 10t~-\frac{\pi }{3} \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2}}~=4cos\left( 10t+~\frac{\pi }{6} \right)\text{ }cm\]. Tốc độ cực đại của vật trong quá trình dao động là
[A]. \[70\text{ }cm/s. \]
[B]. \[50\text{ }cm/s. \]
[C]. \[5\text{ }m/s. \]
[D]. \[10\,cm/s. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có \[{{x}_{1}}=3\sin \left( 10t-\frac{\pi }{3} \right)=3\cos \left( 10t-\frac{5\pi }{6} \right)\]
Hai dao động ngược pha nhau
$$ \Rightarrow $$ biên độ dao động tổng hợp là \[A=43=1\text{ }cm. \]
$$ \Rightarrow {{v}_{\max }}=\omega A=10. 1=10cm/s. $$
Câu 4.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số. Biết phương trình dao động tổng hợp là \[x=2cos\left( \omega t+\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\] và phương trình dao động của thành phần thứ nhất là \[{{x}_{1}}~=2cos\left( \omega t-\frac{\pi }{6} \right)\text{ }cm\]. Phương trình dao động của thành phần thứ hai là
[A]. \[{{x}_{2}}~=2cos\left( \omega t+\frac{5\pi }{6} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[{{x}_{2~}}=2cos\left( \omega t+\frac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[{{x}_{2}}~=2\sqrt{3}cos\left( \omega t+\frac{5\pi }{6} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[{{x}_{2}}~=2\sqrt{3}cos\left( \omega t+\frac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\to {{x}_{2}}=x-{{x}_{1}} $$
Bấm máy $$ 2\angle \frac{\pi }{2}-2\angle \frac{-\pi }{6}=2\sqrt{3}\angle \frac{2\pi }{3} $$
Phương trình dao động của thành phần thứ hai là \[{{x}_{2}}~=2\sqrt{3}cos\left( \omega t+\frac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
Câu 5.
Cho hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động lần lượt là \[{{x}_{1}}~=3\sqrt{3}cos\left( 5\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\] và\[{{x}_{2~}}=3\sqrt{3}. cos\left( 5\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\]. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên bằng
[A]. 0 cm.
[B]. \[\sqrt{3}~cm. \]
[C]. \[3\sqrt{3}~cm. \]
[D]. \[6\sqrt{3}~cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Dao động tổng hợp \[x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3\sqrt{3}\left[ cos\left( 5\pi t+\frac{\pi }{2} \right)+cos\left( 5\pi t-\frac{\pi }{2} \right) \right]\]
\[\Rightarrow x=3\sqrt{3}. 2. cos(5\pi t)cos\frac{\pi }{2}=0\,cm. \]
Có thể nhận xét nhanh hai dao động cùng tần số, cùng biên độ, ngược pha nên biên độ dao động tổng hợp
$$ A={{A}_{1}}-{{A}_{2}}=0\,cm. $$
Câu 6.
Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số, có phương trình lần lượt là \[{{x}_{1}}~=3cos\left( 10t\frac{\pi }{3}~ \right)cm\] và \[{{x}_{2}}~=4cos\left( 10t+~\frac{\pi }{6} \right)\,cm\]. Độ lớn gia tốc cực đại của vật trong quá trình dao động là
[A]. \[50\text{ }cm/{{s}^{2}}. \]
[B]. \[500\text{ }cm/{{s}^{2}}. \]
[C]. \[70\text{ }cm/{{s}^{2}}. \]
[D]. \[700\text{ }cm/{{s}^{2}}. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Độ lệch pha hai dao động
$$ \Delta \varphi =\frac{\pi }{6}-\frac{-\pi }{3}=\frac{\pi }{2}\,rad\Rightarrow $$ hai dao động vuông pha.
Biên độ dao động tổng hợp
$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5\,cm. $$
Gia tốc cực đại $$ {{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A={{10}^{2}}. 5=500\,cm/{{s}^{2}}. $$
Câu 7.
Hai dao động cơ điều hoà có cùng phương, cùng vị trí cân bằng, cùng tần số là 50 Hz. Dao động thứ nhất có biên độ A và pha ban đầu\[\pi \,rad\], dao động thứ hai có biên độ 2A và pha ban đầu\[\frac{\pi }{3}\,rad\]. Phương trình của dao động tổng hợp có thể là
[A]. \[x=A\sqrt{3}~cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{2} \right). \]
[B]. \[x=3A~cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{2} \right). \]
[C]. \[x=Acos\left( 100\pi t\frac{\pi }{3} \right). \]
[D]. \[x=3Acos\left( 100\pi t\frac{\pi }{3} \right). \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Tần số góc $$ \omega =2\pi f=100\pi \,\left( rad/s \right) $$
Gọi phương trình dao động tổng hợp là \[x=Bcos(100\pi t+\varphi )\]
Ta biểu diễn hai dao động điều hòa thứ nhất, thứ hai bằng các véc tơ quay
$$ \overrightarrow{{{A}_{1}}},\overrightarrow{{{A}_{2}}} $$ ; véc tơ dao động tổng hợp là $$ \overrightarrow{B}. $$
Từ giản đồ ta có: $$ B=\sqrt{{{\left( 2A \right)}^{2}}-{{A}^{2}}}=A\sqrt{3}\,\,v\grave{a}\,\varphi =\frac{\pi }{2}\,rad. $$
Phương trình dao động tổng hợp \[x=A\sqrt{3}~cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{2} \right). \]
Câu 8.
Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có pha ban đầu là \[\frac{\pi }{3}\,rad\] và \[-\frac{\pi }{6}\,rad. \] Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
[A]. \[\dfrac{\pi }{12}\,rad. \]
[B]. \[\dfrac{\pi }{6}\,rad. \]
[C]. \[-\dfrac{\pi }{2}\,rad. \]
[D]. \[\dfrac{\pi }{4}\,rad. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Pha dao động tổng hợp \[tan\varphi =\dfrac{sin\dfrac{\pi }{3}+sin\dfrac{-\pi }{6}}{cos\dfrac{\pi }{3}+cos\dfrac{-\pi }{6}}\Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{12}\,rad. \]
Câu 9.
Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp \[x=5\sqrt{2}cos\left( \pi t+\dfrac{5\pi }{12} \right)\,cm\],với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là \[{{x}_{1~}}={{A}_{1}}cos(\pi t+~{{\varphi }_{1}})\] và \[{{x}_{2~}}=5cos\left( \pi t+~\dfrac{\pi }{6} \right)\,cm\]. Biên độ và pha ban đầu của dao động 1 là
[A]. \[5\sqrt{2}~cm,~\,\dfrac{\pi }{6}\,rad. \]
[B]. \[5~cm,~\,\dfrac{2\pi }{3}\,rad. \]
[C]. \[5\sqrt{2}~cm,~\,\dfrac{\pi }{2}\,rad. \]
[D]. \[5~cm,~\,\dfrac{\pi }{3}\,rad. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\to {{x}_{1}}=x-{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 5\sqrt{2}\angle \dfrac{5\pi }{12}-5\angle \dfrac{\pi }{6}=5\angle \dfrac{2\pi }{3} $$ .
Câu 10.
Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là \[{{x}_{1~}}=3cos\left( 5t \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2}}~=4cos\left( 5t+\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\]. Phương trình dao động tổng hợp là
[A]. \[x=5cos\left( 5t+0,93 \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=5cos\left( 5t+\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=5cos\left( 5t+\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=5cos\left( 5t+0,39 \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 3\angle 0+4\angle \dfrac{\pi }{2}=5\angle 0,93 $$
Phương trình dao động tổng hợp là \[x=5cos\left( 5t+0,93 \right)\text{ }cm. \]
Câu 11.
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng vị trí cân bằng với phương trình dao động là \[{{x}_{1}}~=4cos\left( \pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2}}~=7cos\left( \pi t+~\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm\]. Phương trình dao động của chất điểm là
[A]. \[x=11cos\left( \pi t+\dfrac{11\pi }{12} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=8,1cos\left( \pi t+1,23 \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=8,9cos\left( \pi t+2,9 \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=8,9cos\left( \pi t+1,23 \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Gọi phương trình tổng hợp là \[x=Acos(\pi t+\varphi )\]
Biên độ dao động $$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)} $$
$$ \Rightarrow A=\sqrt{{{4}^{2}}+{{7}^{2}}+2. 4. 7. cos\left( \dfrac{2\pi }{3}-\dfrac{\pi }{4} \right)}=8,9\,cm. $$
Pha dao động \[tan\varphi =\dfrac{4sin\dfrac{2\pi }{3}+7sin\dfrac{\pi }{4}}{4cos\dfrac{2\pi }{3}+7cos\dfrac{\pi }{4}}=2,85\Rightarrow \varphi =1,23\,rad. \]
Dao động tổng hợp \[x=8,9cos\left( \pi t+1,23 \right)\text{ }cm. \]
Câu 12.
Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là \[{{A}_{1}}~=8\text{ }cm,\text{ }{{A}_{2}}~=15\text{ }cm\] và lệch pha nhau\[\dfrac{\pi }{2}\,rad\]. Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng
[A]. 23 cm.
[B]. 7 cm.
[C]. 11 cm.
[D]. 17 cm.
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp
$$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{15}^{2}}}=17\,cm. $$
Câu 13.
Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là \[{{x}_{1}}~=4cos\left( 10t+\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2}}~=3cos\left( 10t-\dfrac{3\pi }{4} \right)\text{ }cm\]. Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là
[A]. \[80\text{ }cm/s. \]
[B]. \[100\text{ }cm/s. \]
[C]. \[10\text{ }cm/s. \]
[D]. \[50\text{ }cm/s. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Gọi dao động tổng hợp là \[x=Acos(10t+\varphi )\]
Hai dao động ngược pha nên
$$ A={{A}_{1}}-{{A}_{2}}=4-3=1\,\,cm\,\,v\grave{a}\, \varphi =\dfrac{\pi }{4}\ $$
\[\Rightarrow x=1cos\left( 10t+\dfrac{\pi }{4} \right)\,cm\]
\[\Rightarrow {{v}_{max}}=\omega . A=10\,cm/s. \]
Câu 14.
Một vật đồng thời tham gia 3 dao động cùng phương, cùng tần số có phương trình dao động \[{{x}_{1}}~=2\sqrt{3}cos\left( 2\pi t+\dfrac{~\pi }{3} \right)\,cm\], \[{{x}_{2}}~=4cos\left( 2\pi t+~\dfrac{\pi }{6} \right)\,\text{cm}\] và \[{{x}_{3}}~={{A}_{3}}~cos(\pi t+~{{\varphi }_{3}})\,cm\]. Phương trình dao động tổng hợp có dạng \[x=6cos\left( 2\pi t-~\dfrac{\pi }{6} \right)\,cm\]. Giá trị $$ {{A}_{3}}\,v\grave{a}\,{{\varphi }_{3}} $$ lần lượt là
[A]. 8 cm và \[-\dfrac{\pi }{2}\,rad. \]
[B]. 6 cm và \[\dfrac{\pi }{3}\,rad. \]
[C]. 8 cm và \[\dfrac{\pi }{6}\,rad. \]
[D]. 8 cm và \[\dfrac{\pi }{2}\,rad. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\to {{x}_{3}}=x-{{x}_{1}}-{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 6\angle \dfrac{-\pi }{6}-2\sqrt{3}\angle \dfrac{\pi }{3}-4\angle \dfrac{\pi }{6}=8\angle \dfrac{-\pi }{2} $$
Câu 15.
Chuyển động của một vật là tổng hợp của ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ và pha ban đầu lần lượt là \[{{A}_{1}}~=1,5\,cm;~{{\varphi }_{1}}~=0\];\[{{A}_{2}}~=~\dfrac{\sqrt{3}}{2}cm;~{{\varphi }_{2}}~=~\dfrac{\pi }{2};\]và \[{{A}_{3}};~{{\varphi }_{3}}~\]với \[0<~{{\varphi }_{3}}~<~\pi \]. Gọi A và \[\varphi \] là biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp, để dao động tổng hợp có \[A=~\sqrt{3~}\,cm\text{ }v\grave{a}~\,\varphi ~=~\dfrac{\pi }{2}\] thì giá trị của \[{{A}_{3}};~{{\varphi }_{3}}~\]bằng
[A]. \[\sqrt{3}\text{ }cm\text{ }v\grave{a}~\,\dfrac{\pi }{6}. \]
[B]. \[\sqrt{3}\text{ }cm\text{ }v\grave{a}~\,\dfrac{5\pi }{6}. \]
[C]. \[3\text{ }cm\text{ }v\grave{a}~\,\dfrac{\pi }{6}. \]
[D]. \[3\text{ }cm\text{ }v\grave{a}~\,\dfrac{5\pi }{6}. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Dao động tổng hợp
$$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}\Rightarrow {{x}_{3}}=x-{{x}_{1}}-{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ \sqrt{3}\angle \dfrac{\pi }{2}-1,5\angle 0-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\angle \dfrac{\pi }{2}=\sqrt{3}\angle \dfrac{5\pi }{6}. $$
Câu 16.
Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hào cùng phương, cùng tần số, có phương trình dao động thành phần lần lượt là \[{{x}_{1}}~=3cos\left( \omega t+\dfrac{\pi }{6} \right)\,cm\] và \[{{x}_{2}}~=4cos\left( \omega t-\dfrac{\pi }{3} \right)\,cm\]. Khi vật qua li độ \[x=4\text{ }cm\] thì vận tốc dao động tổng hợp của vật là 60 cm/s. Tần số góc dao động tổng hợp của vật là
[A]. 20 rad/s.
[B]. 10 rad/s.
[C]. 40 rad/s.
[D]. 6 rad/s.
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Độ lệch pha hai dao động
$$ \Delta \varphi =\dfrac{\pi }{6}-\dfrac{-\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}\,rad\Rightarrow
$$ hai dao động vuông pha.
Biên độ dao động tổng hợp $$ A=\sqrt{A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5\,cm. $$
Áp dụng công thức độc lập thời gian
$$ {{A}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\Rightarrow {{5}^{2}}={{4}^{2}}+\dfrac{{{60}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\to \omega =20\left( rad/s \right). $$
Câu 17.
Cho hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số \[{{x}_{1}}~=Acos\left( 100\pi t+\varphi
\right)\text{ }cm\];\[{{x}_{2}}~=6sin\left( 100\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm\]. Dao động tổng hợp\[x=6\sqrt{3}cos\left( 100\pi t \right)\text{ }cm\], giá trị của A và \[\varphi \] là
[A]. \[6\sqrt{3}\text{ }cm;\text{ }\dfrac{\pi }{6}\text{ }rad. \]
[B]. \[6\,cm;\text{ }\dfrac{\pi }{6}\text{ }rad. \]
[C]. \[6\text{ }cm;\text{ }\dfrac{\pi }{3}\text{ }rad. \]
[D]. \[6\sqrt{3}\text{ }cm;\text{ }\dfrac{\pi }{3}\text{ }rad. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có \[{{x}_{2}}~=6sin\left( 100\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ = }6\cos \left( 100\pi t-\dfrac{\pi }{6} \right)cm\]
Dao động tổng hợp $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}=x-{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 6\sqrt{3}\angle 0-6\angle \dfrac{-\pi }{6}=6\angle \dfrac{\pi }{6}. $$
Câu 18.
Cho hai dao động điều hòa cùng phương \[{{x}_{1}}~=2cos\left( 4t+~{{\varphi }_{1}} \right)\text{ }cm\] và \[{{x}_{2}}~=2cos\left( 4t+\dfrac{\pi }{2} \right)~cm\]. Biết phương trình dao động tổng hợp là \[x=2cos\left( 4t+\dfrac{~\pi }{6} \right)\text{ }cm\], pha ban đầu \[{{\varphi }_{1}}\] là
[A]. \[\dfrac{\pi }{2}\text{ }rad. \]
[B]. \[-\dfrac{\pi }{3}\text{ }rad. \]
[C]. \[\dfrac{\pi }{6}\text{ }rad. \]
[D]. \[-\dfrac{\pi }{6}\text{ }rad. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Dao động tổng hợp
$$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}=x-{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 2\angle \dfrac{\pi }{6}-2\angle \dfrac{\pi }{2}=2\angle \dfrac{-\pi }{6} $$ .
Câu 19.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình\[{{x}_{1}}~=2cos\left( 5\pi t+\dfrac{\pi }{2} \right)\,cm\];\[{{x}_{2}}~=2cos5\pi t\text{ }\left( cm \right)\]. Vận tốc của vật tại thời điểm \[t=2\text{ }s\] là
[A]. \[-10\pi \text{ }cm/s. \]
[B]. \[10\pi \text{ }cm/s. \]
[C]. \[\pi \text{ }cm/s. \]
[D]. \[-\pi \text{ }cm/s. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Dao động tổng hợp của vật có phương trình \[x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\angle \dfrac{\pi }{2}+2\angle 0=2\sqrt{2}\angle \dfrac{\pi }{4}\]
\[\Rightarrow x=2\sqrt{2}cos\left( 5\pi t+\dfrac{\pi }{4} \right)\,cm\]
Phương trình vận tốc
$$ v=x’=10\sqrt{2}\pi cos\left( 5\pi t+\dfrac{3\pi }{4} \right)cm/s $$
Vân tốc của vật tại thời điểm \[t=2\text{ }s\] là
$$ v=10\sqrt{2}\pi cos\left( 5\pi . 2+\dfrac{3\pi }{4} \right)=-10\,cm/s. $$
Câu 20.
Cho 3 dao động cùng phương có phương trình lần lượt là\[{{x}_{1~}}=2Acos\left( 10\pi t+\dfrac{\pi }{6} \right)\], \[{{x}_{2}}~=2Acos\left( 10\pi t+\dfrac{5\pi }{6} \right)\]và \[{{x}_{3}}~=Acos\left( 10\pi t-\dfrac{\pi }{2} \right)\] (với x tính bằng cm, t tính bằng s). Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là
[A]. \[x=Acos\left( 10\pi t+~\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=Acos\left( 10\pi t-~\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=Acos\left( 10\pi t+~\dfrac{5\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=Acos\left( 10\pi t-\dfrac{5\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} $$
Bấm máy $$ 2A\angle \dfrac{\pi }{6}+2A\angle \dfrac{5\pi }{6}+A\angle \dfrac{-\pi }{2}=A\angle \dfrac{\pi }{2} $$ .
Phương trình tổng hợp của ba dao động trên là \[x=Acos\left( 10\pi t+~\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]
Câu 21.
Một vật có khối lượng 100 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, có phương trình dao động là \[{{x}_{1}}~=5cos\left( 10t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm\] và\[{{x}_{2~}}=10cos\left( 10t-\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm\]. Giá trị cực đại của lực tổng hợp tác dụng lên vật là
[A]. 5 N.
[B]. \[0,5\sqrt{3}\,N. \]
[C]. \[5\sqrt{3}\,N. \]
[D]. \[10\sqrt{3}\,N. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có dao động tổng hợp $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 5\angle \dfrac{\pi }{3}+10\angle \dfrac{-\pi }{3}=5\sqrt{3}\angle -\dfrac{\pi }{6} $$
Phương trình dao động của vật là
$$ x=5\sqrt{3}\cos \left( 10t-\dfrac{\pi }{6} \right)\,cm. $$
Lực tổng hợp tác dụng lên vật có giá trị cực đại \[{{F}_{max}}=kA=m{{\omega }^{2}}. A=0,{{1. 10}^{2}}. 0,05. \sqrt{3}=0,5\sqrt{3}\,N. \]
Câu 22.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình \[{{x}_{1}}~=5cos\left( ~\pi t+~\dfrac{\pi }{3} \right)\,cm;\]\[{{x}_{2}}~=5cos\pi t\text{ }\left( cm \right)\]. Dao động tổng hợp của vật có phương trình
[A]. \[x=5\sqrt{3}cos\left( \pi t-~\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=5\sqrt{3}cos\left( \pi t+~\dfrac{\pi }{6} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=5cos\left( \pi t+~\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=5cos\left( \pi t-~\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có dao động tổng hợp
$$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 5\angle \dfrac{\pi }{3}+5\angle 0=5\sqrt{3}\angle \dfrac{\pi }{6} $$
Phương trình dao động tổng hợp là \[x=5\sqrt{3}cos\left( \pi t+~\dfrac{\pi }{6} \right)\text{ }cm. \]
Câu 23.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số\[{{x}_{1~}}=cos(2\pi t+~\pi )\,cm\],\[{{x}_{2}}~=~\sqrt{3}. cos\left( 2\pi t-~\dfrac{\pi }{2} \right)\,cm\]. Phương trình của dao động của vật là
[A]. \[x=2. cos\left( 2\pi t-\dfrac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
[B]. \[x=4. cos\left( 2\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
[C]. \[x=2. cos\left( 2\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
[D]. \[x=4. cos\left( 2\pi t+\dfrac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có dao động tổng hợp
$$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 1\angle \pi +\sqrt{3}\angle \dfrac{-\pi }{2}=2\angle \dfrac{-\pi }{3} $$
Phương trình dao động tổng hợp là \[x=2. cos\left( 2\pi t-\dfrac{2\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]
Câu 24.
Một vật có khối lượng 0,1 kg đồng thời thực hiện hai dao động điều hoà \[{{x}_{1}}~={{A}_{1}}cos10t\text{ }cm\] và\[{{x}_{2}}~=6cos\left( 10t-\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\]. Biết hợp lực cực đại tác dụng vào vật là 1 N, biên độ \[{{A}_{1}}\] có giá trị
[A]. 6 cm.
[B]. 9 cm.
[C]. 8 cm.
[D]. 5 cm.
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Hợp lực cực đại \[F=m{{\omega }^{2}}A=1\Rightarrow A=10\,cm. \]
Độ lệch pha giữa hai dao động
$$ \Delta \varphi =0-\dfrac{-\pi }{2}=\dfrac{\pi }{2}\,rad\Rightarrow $$ hai dao động vuông pha.
$$ \Rightarrow {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\Rightarrow {{A}_{1}}=\sqrt{{{A}^{2}}-A_{2}^{2}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8\,cm. \, $$
Câu 25.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có phương trình $$ {{x}_{1}}=4\sqrt{3}\cos 10\pi t $$ (cm) và $$ {{x}_{2}}=4\sin 10\pi t $$ (cm). Nhận định nào sau đây là không đúng ?
[A]. Khi $$ {{x}_{1}}=-4\sqrt{3}cm $$ thì $$ {{x}_{2}}=0 $$ .
[B]. Khi $$ {{x}_{1}}=4\sqrt{3}cm $$ thì $$ {{x}_{2}}=4cm $$ .
[C]. Khi $$ {{x}_{1}}=4\sqrt{3}cm $$ thì $$ {{x}_{2}}=0 $$ .
[D]. Khi $$ {{x}_{1}}=0 $$ thì $$ {{x}_{2}}=\pm 4cm $$ .
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có thể viết lại phương trình hai dao động thành phần
$$ {{x}_{1}}=4\sqrt{3}\cos 10\pi t\left( cm \right) $$
và $$ {{x}_{2}}=4\cos \left( 10\pi t-\dfrac{\pi }{2} \right)\left( cm \right) $$
Hai dao động vuông pha $$ \Rightarrow \dfrac{x_{1}^{2}}{A_{1}^{2}}+\dfrac{x_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}=1 $$
$$ \Rightarrow {{x}_{1}} $$ và $$ {{x}_{2}} $$ không thể cùng cực đại, cùng cực tiểu hoặc cùng bằng 0 được.
Khi \[{{x}_{1}}=4\sqrt{3}\,cm\] thì $$ {{x}_{2}}=4\,cm $$ là không đúng.
Câu 26.
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình $$ {{x}_{1}}={{A}_{1}}\sin \left( 20t+\pi /6 \right)cm; $$ $$ {{x}_{2}}=3\sin \left( 20t+5\pi /6 \right)cm $$ . Biết vận tốc cực đại của vật là \[140\text{ }cm/s\], biên độ $$ {{A}_{1}} $$ và pha ban đầu của vật là
[A]. $$ {{A}_{1}}=8cm;\varphi ={{52}^{o}} $$ .
[B]. $$ {{A}_{1}}=5cm;\varphi =-{{52}^{o}} $$ .
[C]. $$ {{A}_{1}}=5cm;\varphi ={{52}^{o}} $$ .
[D]. $$ {{A}_{1}}=8cm;\varphi =-{{38}^{o}} $$ .
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Vận tốc cực đại là
$$ {{v}_{\max }}=A\omega =140\text{ }cm/s\Rightarrow \text{ }A=7\text{ }cm. $$
Ta có $$ {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( 20t-\pi /3 \right)cm;{{x}_{2}}=3\cos \left( 20t+\pi /3 \right)cm. $$
Ta lại có $$ {{A}^{2}}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi $$
$$ \Rightarrow {{7}^{2}}=A_{1}^{2}+{{3}^{2}}+2. 3. {{A}_{1}}\cos \dfrac{2\pi }{3} $$
$$ \Rightarrow {{A}_{1}}=8\,cm. $$
Dao động tổng hợp $$ x={{x}_{1}}+{{x}_{2}} $$
Bấm máy $$ 8\angle \dfrac{-\pi }{3}+3\angle \dfrac{\pi }{3}=7\angle -{{38}^{o}} $$
Câu 27.
Một chất điểm tham gia đồng thời 2 dao động cùng phương, có phương trình lần lượt là \[{{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( 10t \right)\], \[{{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( 10t+{{\varphi }_{2}} \right)\]. Phương trình dao động tổng hợp \[x={{A}_{1}}\sqrt{3}cos\left( 10t+\varphi \right)\], trong đó có \[~{{\varphi }_{2}}-\varphi =\dfrac{\pi }{6}\]. Tỉ số \[\dfrac{\varphi }{{{\varphi }_{2}}}\] bằng
[A]. $$ \dfrac{1}{2} $$ hoặc $$ \dfrac{3}{4} $$ .
[B]. \[\dfrac{2}{3}\] hoặc \[\dfrac{4}{3}\].
[C]. $$ \dfrac{3}{4} $$ hoặc \[\dfrac{2}{5}\].
[D]. \[\dfrac{1}{3}\] hoặc \[\dfrac{2}{3}\].
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Ta có: \[~{{\varphi }_{2}}-\varphi =\dfrac{\pi }{6}\], biểu diễn bằng giản đồ vector.
Áp dụng định lí hàm sin cho ΔOBC ta có:
\[\dfrac{{{A}_{1}}}{\sin \dfrac{\pi }{6}}=\dfrac{{{A}_{1}}\sqrt{3}}{\sin \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left[ \begin{matrix} \alpha =\dfrac{\pi }{3}\to \varphi =\dfrac{\pi }{2}\to {{\varphi }_{2}}=\dfrac{2\pi }{3} \\ \alpha =\dfrac{2\pi }{3}\to \varphi =\dfrac{\pi }{6}\to {{\varphi }_{2}}=\dfrac{\pi }{3} \\ \end{matrix} \right. \]
Suy ra \[\dfrac{\varphi }{{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{1}{2}\] hoặc \[\dfrac{\varphi }{{{\varphi }_{2}}}=\dfrac{3}{4}\].
Câu 28.
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng tần số trên trục Ox. Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ \[{{A}_{1}}=4\sqrt{3}\,cm\], dao động tổng hợp có biên độ 4 cm. Dao động thành phần thứ hai sớm pha hơn dao động tổng hợp một góc \[\dfrac{\pi }{3}\]. Dao động thành phần thứ hai có biên độ \[{{A}_{2}}\] là
[A]. 4 cm.
[B]. 8 cm.
[C]. 4\[\sqrt{3}\] cm.
[D]. 6\[\sqrt{3}\] cm.
Hướng dẫn giải bài tập tổng hợp dao động điều hòa
Sử dụng định lý hàm cos trong tam giác:
\[\begin{array}{l} A_{1}^{2}={{A}^{2}}+A_{2}^{2}-2A. {{A}_{2}}. \cos \left( {{60}^{0}} \right) \\ \Leftrightarrow A_{1}^{2}={{A}^{2}}+A_{2}^{2}- A. {{A}_{2}} \\ \Leftrightarrow {{\left( 4\sqrt{3} \right)}^{2}}={{4}^{2}}+A_{2}^{2}-4. {{A}_{2}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {{A}_{2}}=8 \\ {{A}_{2}}=-4 \end{array} \right. \end{array}\]