Bài tập năng lượng dao động điều hòa, vật lí 11 DAO ĐỘNG
Bài tập năng lượng dao động điều hòa, vật lí 11
Câu 1.
Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ. Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng, công thức tính thế năng của con lắc ở ly độ góc $$ \alpha $$ là
[A]. $$ {{W}_{t}}=2mgl{{\cos }^{2}}\dfrac{\alpha }{2}. $$
[B]. $$ {{W}_{t}}=mgl\sin \alpha . $$
[C]. $$ {{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}mgl{{\alpha }^{2}}. $$
[D]. $$ {{W}_{t}}=mgl\left( 1+\cos \alpha \right). $$
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Thế năng của con lắc đơn $$ {{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}mgl{{\alpha }^{2}}. $$
Câu 2.
Một vật nhỏ có khối lượng bằng 100 g, dao động điều hòa với biên độ bằng 5 cm và chu kỳ bằng \[\pi \text{ }s\]. Động năng cực đại của vật là
[A]. \[{{6. 10}^{4}}~J. \]
[B]. 7 J.
[C]. 4 J.
[D]. \[{{5. 10}^{4}}~J. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Tần số góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=2\,rad/s. $$
Động năng cực đại của vật \[{{W}_{dmax}}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{0,{{1. 2}^{2}}. 0,{{05}^{2}}}{2}={{5. 10}^{-4}}J. \]
Câu 3.
Một con lắc gồm lò xo có độ cứng bằng 20 N/m gắn với một vật nhỏ, đang dao động điều hòa với phương trình vận tốc \[v=4\pi cos\left( \pi t-\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm/s\]. Thế năng của chất điểm biến thiên theo phương trình
[A]. \[{{E}_{t}}~=8cos\left( 2\pi t+~\pi \right)+8\text{ }mJ. \]
[B]. \[{{E}_{t}}~=8cos\left( \pi t+\dfrac{\pi }{4} \right)+8\text{ }mJ. \]
[C]. \[{{E}_{t}}~=8cos\left( 2\pi t-\dfrac{3\pi }{2} \right)+8\text{ }mJ. \]
[D]. \[{{E}_{t}}~=16cos\left( 2\pi t+\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }mJ. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Ta có \[v=4\pi cos\left( \pi t-\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm/s\]\[\Rightarrow x=4cos\left( \pi t-\dfrac{3\pi }{4} \right)\,cm. \]
Biểu thức thế năng có dạng \[\Rightarrow {{E}_{t}}=\dfrac{E}{2}cos\left( 2\pi t-\dfrac{3\pi }{2} \right)+\dfrac{E}{2}\,mJ. \]
Mà \[E=\dfrac{k{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{20. 0,{{04}^{2}}}{2}=0,016J=16\,\,mJ. \]
\[\Rightarrow {{E}_{t}}=8cos\left( 2\pi t-\dfrac{3\pi }{2} \right)+8\,mJ. \]
Câu 4.
Một con lắc đơn dao động điều hòa với thế năng biến thiên theo phương trình\[{{E}_{t~}}=0,763cos\left( 12t+2,4 \right)+0,763\text{ }mJ\]. Cho khối lượng quả nặng bằng 150 g và gia tốc trọng trường\[g=9,81\text{ }m/{{s}^{2}}\]. Phương trình ly độ góc của chất điểm là
[A]. \[\alpha ~~=6cos\left( 5t+1,2 \right)\text{ }\left( ^{o} \right). \]
[B]. \[\alpha ~=5cos\left( 12t+1,2 \right)\text{ }\left( ^{o} \right). \]
[C]. \[\alpha ~=5cos\left( 6t+1,2 \right)\left( ^{o} \right). \]
[D]. \[\alpha ~=5cos\left( 6t+2,4 \right)\text{ }\left( ^{o} \right). \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Từ phương trình thế năng
$$ \Rightarrow \omega =\dfrac{{{\omega }_{E}}}{2}=6\,rad/s;\,\varphi =\dfrac{{{\varphi }_{E}}}{2}=1,{{2}^{o. }} $$
Phương trình li độ \[\alpha ={{\alpha }_{o}}cos(6t+1,2){{(}^{o}})\]
$$E = \dfrac{{m{g^2}}}{{{\omega ^2}}}(1 – cos{\alpha _0}) \Rightarrow 1,{526.10^{ – 3}} = \dfrac{{0,15.9,{{81}^2}}}{{{6^2}}}(1 – cos{\alpha _0}) \Rightarrow {\alpha _0} = {5^0}$$
Vậy \[\alpha ~=5cos\left( 6t+1,2 \right)\left( ^{o} \right). \]
Câu 5.
Một vật nhỏ khối lượng 100 g đang dao động điều hòa với tần số là 5 Hz và cơ năng toàn phần bằng 0,18 J (mốc thế năng tại vị trí cân bằng). Lấy\[{{\pi }^{2}}~=10\], tại li độ \[3\sqrt{2}\text{ }cm\], tỉ số động năng và thế năng là
[A]. 1.
[B]. 4.
[C]. 3.
[D]. 2.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Tần số góc
$$ \omega =2\pi f=10\pi,\left( rad/s \right) $$
Tại li độ \[3\sqrt{2}\text{ }cm\], thế năng của vật là \[\Rightarrow {{E}_{t}}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{2}=\dfrac{0,1. {{(10\pi )}^{2}}. {{(0,03\sqrt{2})}^{2}}}{2}=0,09\,J. \]
Động năng của vật là \[{{E}_{d}}=E-{{E}_{t}}=0,18-0,09=0,09J. \]
\[\Rightarrow \dfrac{{{E}_{d}}}{{{E}_{t}}}=\dfrac{0,09}{0,09}=1. \]
Câu 6.
Một vật nhỏ có khối lượng bằng 100 g, dao động điều hòa với biên độ bằng 4 cm và tần số góc bằng 3 rad/s. Động năng cực đại của vật là
[A]. \[3,{{6. 10}^{-4}}~J. \]
[B]. 7,2 J.
[C]. 3,6 J.
[D]. \[7,{{2. 10}^{-4~}}J. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Động năng cực đại của vật \[{{E}_{dmax}}=E={{E}_{t\max }}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{0,{{1. 3}^{2}}. 0,{{04}^{2}}}{2}=7,{{2. 10}^{-4}}\,J. \]
Câu 7.
Một vật nhỏ có khối lượng bằng 50 g, dao động điều hòa với tần số góc bằng 6 rad/s. Động năng cực đại của vật là \[3,{{6. 10}^{-4}}~J. \] Biên độ dao động của vật là
[A]. 4 cm.
[B]. 2 cm.
[C]. 3 cm.
[D]. 7 cm.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Ta có \[{{E}_{dmax}}=E={{E}_{t\max }}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\]
\[\Rightarrow A=\sqrt{\dfrac{2{{E}_{dmax}}}{m{{\omega }^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2. 3,{{6. 10}^{-4}}}{0,{{05. 6}^{2}}}}=0,02\,m=2\,cm. \]
Câu 8.
Một vật nhỏ có khối lượng bằng 50 g, dao động điều hòa với biên độ bằng 4 cm. Biết động năng cực đại của vật bằng \[3,{{6. 10}^{4}}~J. \] Chu kỳ dao động của vật là
[A]. 3 s.
[B]. \[\dfrac{2\pi }{3}\text{ }s. \]
[C]. 3,6 s.
[D]. \[\dfrac{\pi }{3}\text{ }s. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Ta có \[{{E}_{dmax}}=E={{E}_{t\max }}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\]
\[\Rightarrow \omega =\sqrt{\dfrac{2{{E}_{dmax}}}{m{{A}^{2}}}}=\sqrt{\dfrac{2. 3,{{6. 10}^{-4}}}{0,05. 0,{{04}^{2}}}}=3\,\left( rad/s \right)\]
Chu kì dao động là \[T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{3}\,s. \]
Câu 9.
Cho con lắc đơn với vật nhỏ có khối lượng 100 g đang dao động điều hòa với cơ năng bằng 8 mJ. Tính tốc độ trung bình trong một chu kỳ là
[A]. 25,5 cm/s.
[B]. 23 cm/s.
[C]. 17,8 cm/s.
[D]. 15 cm/s.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng của con lắc \[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \omega . A=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{{{2. 8. 10}^{-3}}}{0,1}}=0,4\]
Tính tốc độ trung bình trong một chu kỳ là \[{{v}_{tb}}=\dfrac{4A}{T}=\dfrac{4A\omega }{2\pi }=\dfrac{4. 0,4}{2\pi }=0,255\text{ }m/s\text{ }=\text{ }25,5\text{ }cm/s. \]
Câu 10.
Một con lắc đơn gồm một vật nhỏ khối lượng 100 g treo vào một sợi dây mảnh, không giãn, khối lượng không đáng kể và có độ dài là 20 cm. Vật đang đứng thăng bằng, tại thời điểm ban đầu \[\left( t=0 \right)\], truyền cho vật một vận tốc \[{{v}_{o}}~=\text{ }20\text{ }cm/s\] hướng về phía góc lệch dương. Cho gia tốc trọng trường \[g=9,8\text{ }m/{{s}^{2}}\]. Động năng của vật biến thiên điều hòa với phương trình
[A]. \[{{E}_{}}\left( t \right)=\left\{ 1+cos\left( 14t-\pi
\right) \right\}\text{ }mJ. \]
[B]. \[{{E}_{}}\left( t \right)=\left\{ 1+cos\left( 7t-\pi
\right) \right\}\text{ }mJ. \]
[C]. \[{{E}_{}}\left( t \right)=\left\{ 1+cos\left( 14t \right) \right\}\text{ }mJ. \]
[D]. \[{{E}_{}}\left( t \right)=\left\{ 1+cos\left( 14t+\pi
\right) \right\}\text{ }mJ. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\sqrt{\dfrac{g}{l}}=\sqrt{\dfrac{9,8}{0,2}}=7\,\left( rad/s \right)\]
Vật đang đứng thăng bằng, tại thời điểm ban đầu \[\left( t=0 \right)\], truyền cho vật một vận tốc \[{{v}_{o}}~=\text{ }20\text{ }cm/s\] hướng về phía góc lệch dương
$$ \Rightarrow \varphi =\dfrac{-\pi }{2}\,rad. $$
Phương trình động năng \[\Rightarrow {{E}_{d}}=-\dfrac{E}{2}cos(14t-\pi )+\dfrac{E}{2}\,mJ. \]
Ta có \[E=\dfrac{mv_{0}^{2}}{2}=\dfrac{0,1. 0,{{2}^{2}}}{2}={{2. 10}^{-3}}J=2\,mJ. \]
\[\Rightarrow {{E}_{d}}=-1cos(14t-\pi )+1=1+cos(14t)\,mJ. \]
Câu 11.
Cho con lắc đơn với vật nhỏ có khối lượng 150 g đang dao động điều hòa với cơ năng bằng 6 mJ. Tốc độ trung bình của vật nhỏ trong một chu kỳ là
[A]. 25 cm/s.
[B]. 18 cm/s.
[C]. 7 cm/s.
[D]. 14 cm/s.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng của con lắc \[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow \omega . A=\sqrt{\dfrac{2E}{m}}=\sqrt{\dfrac{{{2. 6. 10}^{-3}}}{0,15}}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}\]
Tính tốc độ trung bình trong một chu kỳ là \[\Rightarrow {{v}_{tb}}=\dfrac{4A}{T}=\dfrac{4A\omega }{2\pi }=\dfrac{4\dfrac{\sqrt{2}}{5}}{2\pi }\,=\text{ }0,18\text{ }m/s\text{ }=\text{ }18\text{ }cm/s. \]
Câu 12.
Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là \[{{x}_{1}}~=5cos10t\] và \[{{x}_{2}}~=10cos10t\] (\[{{x}_{1~}}v\grave{a}\text{ }{{x}_{2}}~\]tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng, cơ năng của chất điểm bằng
[A]. 0,1125 J.
[B]. 225 J.
[C]. 112,5 J.
[D]. 0,225 J.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Dao động tổng hợp của chất điểm là \[x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=15cos10t\]
$$ \Rightarrow E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{0,{{1. 10}^{2}}. 0,{{15}^{2}}}{2}=0,1125\,\,J. $$
Câu 13.
Khi nói về một vật dao động điều hòa, phát biểu nào sau đây sai?
[A]. Lực kéo về tác dụng lên vật biến thiên điều hòa theo thời gian.
[B]. Động năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian.
[C]. Vận tốc của vật biến thiên điều hòa theo thời gian.
[D]. Cơ năng của vật biến thiên tuần hoàn theo thời gian.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng của một vật là đại lượng không đổi (bảo toàn).
Câu 14.
Một vật dao động điều hòa theo một trục cố định (mốc thế năng ở vị trí cân bằng) thì
[A]. khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, vận tốc và gia tốc của vật luôn cùng dấu.
[B]. thế năng của vật cực đại khi vật ở vị trí biên.
[C]. động năng của vật cực đại khi gia tốc của vật có độ lớn cực đại.
[D]. khi ở vị trí cân bằng, thế năng của vật bằng cơ năng.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, vận tốc và gia tốc trái dấu nhau.
Động năng của vật cực đại khi gia tốc của vật bằng 0.
Thế năng bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng, cực đại khi vật ở biên.
Câu 15.
Một con lắc lò xo dao động điều hò[A]. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100 g. Lấy \[\pi {}^\text{2}=10\]. Động năng của con lắc biến thiên theo thời gian với tần số
[A]. 1 Hz.
[B]. 3 Hz.
[C]. 6 Hz.
[D]. 12 Hz.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{36}{0,1}}=6\pi \left( rad/s \right)\]
$$ \Rightarrow $$
tần số dao động của con lắc đơn $$ f=\dfrac{\omega }{2\pi }=3Hz $$
Tần số động năng của con lắc $$ f’=2f=6\,\,Hz. $$
Câu 16.
Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình \[x=10cos\left( 4\pi t+\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }\left( cm \right)\] với t tính bằng giây. Động năng của vật đó biến thiên với chu kì bằng
[A]. 0,50 s.
[B]. 1,50 s
[C]. 0,25 s.
[D]. 1,00 s.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Chu kì dao động của vật \[T=\dfrac{2\pi }{\omega }=\dfrac{2\pi }{4\pi }=0,5\,s. \]
Động năng của vật đó biến thiên với chu kì bằng
$$ \dfrac{T}{2}=0,25\,s. $$
Câu 17.
Cơ năng của một vật dao động điều hòa
[A]. tăng gấp đôi khi biên độ dao động của vật tăng gấp đôi.
[B]. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng chu kỳ dao động của vật.
[C]. biến thiên tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ bằng một nửa chu kỳ dao động của vật.
[D]. bằng động năng của vật khi vật tới vị trí cân bằng.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng của một vật dao động điều hòa
$$ W=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\Rightarrow W\sim {{A}^{2}} $$
và là đại lượng bảo toàn theo thời gian.
Câu 18.
Chất điểm có khối lượng \[{{m}_{1}}~=50\text{ }gam\] dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng của nó với phương trình dao động \[{{x}_{1}}~=cos\left( 5\pi t+\dfrac{\pi }{6} \right)\text{ }\left( cm \right)\]. Chất điểm có khối lượng \[{{m}_{2}}~=100\text{ }gam\] dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng của nó với phương trình dao động \[{{x}_{2}}~=5cos\left( \pi t-\dfrac{\pi }{6} \right)\text{ }\left( cm \right)\]. Tỉ số cơ năng trong quá trình dao động điều hoà của chất điểm \[{{m}_{1}}\] so với chất điểm \[{{m}_{2}}\] bằng
[A]. 2.
[B]. 1,5.
[C]. 1.
[D]. 0,5.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng dao động \[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\]
$$ \Rightarrow \dfrac{{{E_1}}}{{{E_2}}} = \dfrac{{{m_1}}}{{{m_1}}}\dfrac{{\omega _1^2}}{{\omega _2^2}}\dfrac{{A_1^2}}{{A_2^2}} = \dfrac{{50}}{{100}}{\left( {\dfrac{{5\pi }}{\pi }} \right)^2}{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}.$$
Câu 19.
Tại một điểm có hai con lắc đơn cùng dao động. Chu kì dao động của chúng lần lượt là 2 s và 1 s. Biết \[{{m}_{1}}~=2{{m}_{2}}~\]và hai con lắc dao động với cùng biên độ \[{{\alpha }_{o}}\]. Tỉ lệ năng lượng của con lắc thứ nhất với năng lượng của con lắc thứ hai bằng
[A]. 0,5.
[B]. 0,25.
[C]. 4.
[D]. 8.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Năng lượng của con lắc đơn \[E=mgl(1-cos{{\alpha }_{0}})\]
Theo bài ra có
$$ \left\{ \begin{array}{l} {{T}_{1}}=2{{T}_{2}} \\ {{m}_{1}}=2{{m}_{2}} \end{array} \right. \,\,v\grave{a}\,c\acute{o}\,T=2\pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}\Rightarrow {{l}_{1}}=4{{l}_{2}} $$
\[\Rightarrow \dfrac{{{E}_{1}}}{{{E}_{2}}}=\dfrac{{{l}_{1}}. {{m}_{1}}}{{{l}_{2}}{{m}_{2}}}=\dfrac{4{{l}_{2}}. 2{{m}_{2}}}{{{l}_{2}}{{m}_{2}}}=8. \]
Câu 20.
Một con lắc đơn \[\left( m=200\text{ }g,\text{ }l=80\text{ }cm \right)\] treo tại nơi có \[g=10\text{ }m/{{s}^{2}}\]. Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng góc \[{{\alpha }_{o}}\] rồi thả không vận tốc đầu, con lắc dao động điều hoà với năng lượng \[E=3,{{2. 10}^{-4}}~J\]. Biên độ dao động là
[A]. 3 cm.
[B]. 2 cm.
[C]. 1,8 cm.
[D]. 1,6 cm.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Năng lượng của con lắc đơn dao động điều hòa
\[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}\alpha _{o}^{2}}{2}=\dfrac{mgS_{0}^{2}}{2l}\Rightarrow {{S}_{0}}=\sqrt{\dfrac{2El}{mg}}=0,016m=1,6\,\,cm. \]
Câu 21.
Một vật dao động điều hoà theo phương trình \[x=2cos\left( 3\pi t-\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm\]. Tỉ số động năng và thế năng của vật tại li độ \[x=1,5\text{ }cm\] là
[A]. 1,28.
[B]. 0,78.
[C]. 1,66.
[D]. 0,56.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Thế năng của vật dao động điều hòa
$$ {{E}_{t}}=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{2}\Rightarrow \dfrac{{{E}_{t}}}{E}=\dfrac{\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}}{2}}{\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}=\dfrac{9}{16} $$ .
$$ \Rightarrow \dfrac{{{E}_{d}}}{E}=1-\dfrac{{{E}_{t}}}{E}=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16} $$ .
\[\Rightarrow \dfrac{{{E}_{d}}}{{{E}_{t}}}=0,78. \]
Câu 22.
Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm một vật nặng khối lượng 1 kg và lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng 100 N/m, dao động điều hoà. Trong quá trình dao động chiều dài của con lắc biến thiên từ 20 cm đến 32 cm. Cơ năng của vật là
[A]. 1,5 J.
[B]. 0,26 J.
[C]. 3 J.
[D]. 0,18 J.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Biên độ dao động của con lắc \[A=\dfrac{{{l}_{max}}-{{l}_{min}}}{2}=\dfrac{32-20}{2}=6\,\,cm. \]
Cơ năng của vật là \[W=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}=\dfrac{1}{2}. 100. 0,{{06}^{2}}=0,18\,\,J. \]
Câu 23.
Khi nói về năng lượng trong dao động điều hoà, phát biểu nào sau đây không đúng?
[A]. Tổng năng lượng là đại lượng tỉ lệ với bình phương của biên độ.
[B]. Tổng năng lượng là đại lượng biến thiên theo li độ.
[C]. Động năng và thế năng là những đại lượng biến thiên tuần hoàn.
[D]. Tổng năng lượng của con lắc phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Tổng năng lượng (cơ năng) trong dao động điều hòa là một đại lượng không đổi và có độ lớn bằng thế năng cực đại của vật khi nó ở vị trí biên \[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}\].
Câu 24.
Một vật có khối lượng 1 kg dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình \[x=10cos\left( \omega t+\pi \right)\text{ }cm\]. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí \[x=-5\text{ }cm\] đến vị trí \[x=+5\text{ }cm\] là \[\dfrac{\pi }{30}\,s\]. Cơ năng dao động của vật bằng
[A]. 0,5 J.
[B]. 5 J.
[C]. 0,3 J.
[D]. 3 J.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Biểu diễn vị trí vật có li độ \[x=-5\text{ }cm\] và \[x=+5\text{ }cm\] trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.
Thời gian ngắn nhất ứng với thời gian vật đi từ $$ {{M}_{3}}\to {{M}_{4}} $$ .
$$ \Rightarrow \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{\pi }{3}\,rad. $$
$$ \Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\dfrac{T}{6}=\dfrac{\pi }{30}\Rightarrow T=\dfrac{\pi }{5}\Rightarrow \omega =10\,\left( rad/s \right) $$
Cơ năng của vật \[E=\dfrac{m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}{2}=\dfrac{{{1. 10}^{2}}. 0,{{1}^{2}}}{2}=0,5\,J. \]
Câu 25.
Hai con lắc lò xo dao động điều hòa cùng tần số và có biên độ lần lượt là \[{{A}_{1}},{{A}_{2}}~\] với\[{{A}_{1}}<{{A}_{2}}~\]. Điều nào sau đây là đúng khi so sánh cơ năng hai con lắc?
[A]. Không thể so sánh được.
[B]. Cơ năng của con lắc thứ nhất lớn hơn.
[C]. Cơ năng của con lắc thứ hai lớn hơn.
[D]. Cơ năng của 2 con lắc bằng nhau.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Cơ năng của con lắc lò xo \[W=\dfrac{1}{2}k{{A}^{2}}\].
Do chưa biết độ cứng của 2 con lắc nên chưa thể so sánh được.
Câu 26.
Con lắc lò xo có khối lượng 1 kg, dao động điều hòa với cơ năng bằng 125 mJ. Tại thời điểm ban đầu vật có vận tốc 25 cm/s và gia tốc \[-6,25\sqrt{3}\text{ }m/{{s}^{2}}\]. Biên độ của dao động là
[A]. 2 cm.
[B]. 3 cm.
[C]. 4 cm.
[D]. 5 cm.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Ta có cơ năng của con lắc \[W=\dfrac{1}{2}m. {{\omega }^{2}}. {{A}^{2}}=0,125\Rightarrow {{\omega }^{2}}. {{A}^{2}}=0,25\,\left( 1 \right)\]
Áp dụng hệ thức độc lập thời gian có \[\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{2}}. {{\omega }^{2}}{{A}^{2}}}=1\]
\[\Rightarrow \dfrac{0,{{25}^{2}}}{0,25}+\dfrac{{{(-6,25\sqrt{3})}^{2}}}{0,25. {{\omega }^{2}}}=1\Rightarrow {{\omega }^{2}}=626\,\left( 2 \right)\]
Thế $$ \left( 2 \right)\,v\grave{a}o\,\left( 1 \right)\,\Rightarrow {{A}^{2}}={{4. 10}^{-4}}\Rightarrow A=0,02m=2\,cm. $$
Câu 27.
Cho một con lắc đơn dao động điều hòa tại nơi có \[g=10\text{ }m/{{s}^{2}}\]. Biết rằng trong khoảng thời gian 12 s thì nó thực hiện được 24 dao động. Vận tốc cực đại của con lắc là \[6\pi \text{ }\left( cm/s \right)\], lấy \[{{\pi }^{2}}=10\]. Giá trị góc lệch của con lắc so với phương thẳng đứng và vị trí mà ở đó thế năng bằng \[1/8\] động năng là
[A]. 0,04 rad.
[B]. 0,08 rad.
[C]. 0,1 rad.
[D]. 0,12 rad.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Chu kì dao động \[T=\dfrac{12}{24}=0,5\,s\]
\[\Rightarrow \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{0,5}=4\pi \Rightarrow l=\dfrac{g}{{{\omega }^{2}}}=0,0625\,m. \]
Biên độ dao động \[\Rightarrow A=\dfrac{{{v}_{max}}}{\omega }=1,5\,cm. \]
Ta có \[{{E}_{t}}=\dfrac{1}{8}{{E}_{d}}\Rightarrow {{E}_{t}}=\dfrac{1}{9}E\Rightarrow \,|x|=\dfrac{1}{3}A=0,5\,cm=0,005\]
Mà \[|x|=l|\alpha |\Rightarrow |\alpha |=\dfrac{|x|}{l}=\dfrac{0,005}{0,0625}=0,08\,rad. \]
Câu 28.
Cho hai con lắc lò xo đang dao động điều hòa cùng tần số và ngược pha nhau. Biên độ của dao động thứ nhất và dao động thứ hai lần lượt là\[{{A}_{1~}}v\grave{a}\text{ }{{A}_{2}}~=\dfrac{{{A}_{1}}}{3}\]. Biết hai vật nhỏ của con lắc có khối lượng bằng nhau. Khi dao động thứ nhất có động năng bằng 0,48 J thì dao động thứ hai có thế năng bằng 0,05 J. Vậy khi dao động thứ nhất có động năng bằng 0,03 J thì dao động thứ hai có thế năng bằng
[A]. 0,10 J.
[B]. 0,06 J.
[C]. 0,20 J
[D]. 0,08 J.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Hai dao động ngược pha nên ta có \[\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=-\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=-3\Rightarrow \dfrac{{{W}_{t1}}}{{{W}_{t2}}}=\dfrac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}=9\].
Khi $$ \left\{ \begin{array}{l} {{W}_{d1}}=0,48\,J \\ {{W}_{t2}}=0,05\,J \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{W}_{d1}}=0,48\,J \\ {{W}_{t1}}=9{{W}_{t2}}=0,45\,J \end{array} \right. \Rightarrow {{W}_{1}}=0,93\,J. $$
Khi \[{{W}_{d1}}=0,03J\Rightarrow {{W}_{t1}}={{W}_{1}}-{{W}_{d1}}=0,93-0,03=0,9\,J\Rightarrow {{W}_{t2}}=\dfrac{{{W}_{t1}}}{9}=0,1\,J. \]
Câu 29.
Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \[x=Acos\omega t\] (trong đó t tính bằng giây). Biết rằng cứ sau những khoảng thời gian ngắn nhất bằng nhau và bằng 0,05 (s) thì động năng lại bằng nửa cơ năng. Số dao động toàn phần con lắc thực hiện trong mỗi giây là
[A]. 3.
[B]. 5.
[C]. 10.
[D]. 20.
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Biểu diễn năng lượng trên đường tròn lượng giác như hình.
Những khoảng thời gian ngắn nhất bằng nhau động năng bằng nửa cơ năng là khoảng thời gian từ
$$ {{M}_{1}}\to {{M}_{2}}\to {{M}_{1}} $$ .
$$ \Rightarrow 0,05\,s=\dfrac{{{T}_{W}}}{2}\Rightarrow {{T}_{W}}=0,1\,s. $$
Chu kì dao động của con lắc $$ T=2{{T}_{W}}=0,2\,s\Rightarrow f=5\,Hz. $$
Vậy trong mỗi giây con lắc thực hiện được 5 dao động toàn phần.
Câu 30.
Có hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hoà trên mặt phẳng nằm ngang dọc theo hai đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc một là \[{{A}_{1}}~=4\text{ }cm\], của con lắc hai là \[{{A}_{2}}~=4\sqrt{3}\text{ }cm\], con lắc hai dao động sớm pha hơn con lắc một. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc treo trục Ox là \[a=4\text{ }cm\]. Khi động năng của con lắc một cực đại là W thì động năng của con lắc hai là
[A]. \[\dfrac{3W}{4}. \]
[B]. \[\dfrac{2W}{3}. \]
[C]. \[\dfrac{9W}{4}. \]
[D]. \[\dfrac{5W}{3}. \]
Hướng dẫn giải bài tập năng lượng dao động điều hòa
Gọi độ lệch pha giữa dao động của hai con lắc là $$ \varphi \,rad. $$
Biểu diễn dao động của hai con lắc trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.
Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo Ox khi $$ MN//Ox $$ .
Do $$ MN=a={{A}_{1}}=4\,cm\Rightarrow \Delta OMN\ c\hat{a}n. $$
$$ \Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{O{{N}^{2}}+O{{M}^{2}}-M{{N}^{2}}}{2ON. OM}=\dfrac{{{\left( 4\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{4}^{2}}-{{4}^{2}}}{2. 4\sqrt{3}. 4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $$
$$ \Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{6}\,rad. $$
Động năng con lắc thứ nhất cực đại khi $$ {{x}_{1}}=0\, $$ (vật ở M’)
$$ \Rightarrow \Delta {{\varphi }_{1}}=\dfrac{\pi }{2}\,\,v\grave{a}\,{{W}_{d1}}=\dfrac{kA_{1}^{2}}{2}=W $$
Khi đó $$ {{x}_{2}}=ON. \sin \varphi =-\dfrac{{{A}_{2}}}{2}=-2\sqrt{3}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{W}_{d2}}=\dfrac{kA_{2}^{2}}{2}-\dfrac{kx_{2}^{2}}{2}=\dfrac{k}{2}\left( A_{2}^{2}-\dfrac{A_{2}^{2}}{{{2}^{2}}} \right)=\dfrac{3}{4}\dfrac{kA_{2}^{2}}{2}=\dfrac{3}{4}. 3. \dfrac{kA_{1}^{2}}{2}=\dfrac{9}{4}W. $$