Bài tập quãng đường cực đại, cực tiểu, vật lí 11 dao động điều hòa

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right) $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc
$$ \Delta \alpha =\omega \Delta t=\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là lớn nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=3\sqrt{2}+3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Biểu diễn các điểm có li độ \[\dfrac{-A}{2}\] trên đường tròn lượng giác như hình.

Khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ biên dương đến vị trí có li độ \[\dfrac{-A}{2}\] ứng với khoảng thời gian đi từ $$ {{M}_{1}}\to {{M}_{2}}. $$
$$ \Delta {{\alpha }_{\min }}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\Rightarrow \Delta t=\dfrac{T}{3}. $$
Quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian t là
$$ s=A+\dfrac{A}{2}=\dfrac{3A}{2} $$
\[\Rightarrow {{v}_{tb}}=\dfrac{s}{t}=\dfrac{\dfrac{3A}{2}}{\dfrac{T}{3}}=\dfrac{9A}{2T}. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Trong khoảng thời gian 1 giây chất điểm quay được một góc
$$ \alpha =\omega . t=\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Tốc độ chuyển động trung bình của điểm P lớn nhất khi quãng đường vật đi được trong 1 s là lớn nhất
$$ \Rightarrow \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\,cm. $$
Tốc độ trung bình lớn nhất là
$$ {{v}_{tb\max }}=\dfrac{{{s}_{\max }}}{\Delta t}=\dfrac{4\sqrt{2}}{1}=4\sqrt{2}\,cm/s. $$
Tốc độ chuyển động trung bình của điểm P nhỏ nhất khi quãng đường vật đi được trong 1 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=\left( 4-2\sqrt{2} \right)+\left( 4-2\sqrt{2} \right)=8-4\sqrt{2}\,cm. $$
Tốc độ trung bình nhỏ nhất là
$$ {{v}_{tb\min }}=\dfrac{{{s}_{\min }}}{\Delta t}=\dfrac{8-4\sqrt{2}}{1}=8-4\sqrt{2}\,cm/s. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc
$$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=2\pi \left( rad/s \right) $$
Có $$ t=2,75\,s=5. 0,5+0,25=5. \dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=5. 2A+\Delta s=10A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,25\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là lớn nhất

$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.
$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=10A+\Delta {{s}_{\max }}=10. 2+2\sqrt{2}=20+2\sqrt{2}\,cm. $$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$
đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 2-\sqrt{2} \right)+\left( 2-\sqrt{2} \right)=4-2\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=10A+\Delta {{s}_{\min }}=10. 2+\left( 4-2\sqrt{2} \right)=24-2\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Chất điểm đi được quãng đường lớn nhất khi đi góc quay
$$ \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng.

\[{{s}_{max}}=2x=2. 4sin\dfrac{\alpha }{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow sin\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow cos\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}\] $$ \Rightarrow \alpha =\dfrac{2\pi }{3}\,rad$$

Quãng đường ngắn nhất mà chất điểm đi được là \[\Rightarrow {{s}_{min}}=2. 4\left( 1-cos\dfrac{\alpha }{2} \right)=2. 4\left( 1-\dfrac{1}{2} \right)=4\,cm. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Chất điểm đi được quãng đường lớn nhất khi đi góc quay $$ \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng.

\[{{s}_{max}}=2Asin\dfrac{\alpha }{2}=A\Rightarrow sin\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow t=\dfrac{T}{6}\]
$$ \Rightarrow $$ Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật đi qua vị trí có li độ bằng \[\dfrac{A}{n}\]liên tiếp là \[\dfrac{T}{6}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\,rad\]

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác, $$ \dfrac{A}{n}=A. \cos \dfrac{\pi }{6}\Rightarrow $$
$$ \dfrac{A}{n}=\dfrac{A\sqrt{3}}{2}\Rightarrow n=\dfrac{2}{\sqrt{3}}. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc
$$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right) $$
$$ t=5,5\text{ }s\text{ }=5. 1+0,5=5\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=5. 2A+\Delta s=10A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là lớn nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=2,5\sqrt{2}+2,5\sqrt{2}=5\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=10A+\Delta {{s}_{\max }}=10. 5+5\sqrt{2}=50+5\sqrt{2}\,cm. $$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là nhỏ nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 5-2,5\sqrt{2} \right)+\left( 5-2,5\sqrt{2} \right)=10-5\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=10A+\Delta {{s}_{\min }}=10. 5+\left( 10-5\sqrt{2} \right)=60-5\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc
$$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{3}\left( rad/s \right) $$
$$ t=5,5\text{ }s\text{ }=3. 1,5+1=3\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{3} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=3. 2A+\Delta s=6A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=1\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{2\pi }{3}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 1 s là lớn nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{3}\to \dfrac{2\pi }{3} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=6A+\Delta {{s}_{\max }}=6. 6+6\sqrt{3}=36+6\sqrt{3}\,cm. $$
Quãng đường vật đi được trong 1 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{3}\to \dfrac{\pi }{3} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=3+3=6\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=6A+\Delta {{s}_{\min }}=6. 6+6=42\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Chất điểm đi được quãng đường lớn nhất khi đi góc quay $$ \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng.

\[{{s}_{max}}=2Asin\dfrac{\alpha }{2}=A\sqrt{2}\Rightarrow sin\dfrac{\alpha }{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{T}{4}\]
$$ \Rightarrow $$ Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật đi qua vị trí có li độ bằng \[\dfrac{A}{n}\]liên tiếp là \[\dfrac{T}{4}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad\]
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác,

$$ \dfrac{A}{n}=A. \cos \dfrac{\pi }{4}\Rightarrow $$
$$ \dfrac{A}{n}=\dfrac{A\sqrt{2}}{2}\Rightarrow n=\sqrt{2}. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần vật đi qua vị trí có li độ bằng \[\dfrac{A}{2}\] liên tiếp ứng với thời gian vật đi từ vị trí $$ {{M}_{1}} $$ qua biên dương đến $$ {{M}_{2}} $$ .
$$ \Rightarrow {{\alpha }_{\min }}=\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow {{t}_{\min }}=\dfrac{T}{3} $$

$$ \Rightarrow \Delta \varphi =\dfrac{2\pi }{3}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong thời gian $$ \dfrac{T}{3} $$ lớn nhất khi
$$ \Delta \varphi $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc
$$ \dfrac{\pi }{3}\to \dfrac{2\pi }{3} $$ trên đường tròn.

\[\Rightarrow {{s}_{max}}=2Asin\dfrac{\alpha }{2}=2Asin\dfrac{\pi }{3}=A\sqrt{3}. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right) $$
$$ t=1,5\text{ }s\text{ }=1+0,5=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=1. 2A+\Delta s=2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 4-2\sqrt{2} \right)+\left( 4-2\sqrt{2} \right)=8-4\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=2A+\Delta {{s}_{\min }}=2. 4+\left( 8-4\sqrt{2} \right)=16-4\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right) $$
$$ t=5,5\text{ }s\text{ }=5. 1+0,5=5\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=5. 2A+\Delta s=10A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 6-3\sqrt{2} \right)+\left( 6-3\sqrt{2} \right)=12-6\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=10A+\Delta {{s}_{\min }}=10. 6+\left( 12-6\sqrt{2} \right)=72-6\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{\pi }{2}\left( rad/s \right) $$
$$ t=9\text{ }s\text{ }=2. 4+1=2T+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian một chu kì chất điểm đi được quãng đường 4A.
$$ \Rightarrow s=2. 4A+\Delta s=8A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=1\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 1 s là lớn nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc
$$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=8A+\Delta {{s}_{\max }}=8. 4+4\sqrt{2}=32+4\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc
$$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{4\pi }{3}\left( rad/s \right) $$
Trong khoảng thời gian $$ t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \alpha =\dfrac{2\pi }{3}\,rad$$
Quãng đường vật đi được nhỏ nhất $$ \Rightarrow \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{3}\to \dfrac{\pi }{3} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=5+5=10\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=2\pi \left( rad/s \right) $$
$$ t=0,75\text{ }s\text{ }=0,5+0,25=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,25\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là lớn nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=2A+\Delta {{s}_{\max }}=2. 2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{4\pi }{3}\left( rad/s \right) $$
$$ t=1\text{ }s\text{ }=0,75+0,25=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{6} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=1. 2A+\Delta s=2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,25\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{3}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là nhỏ nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{6}\to \dfrac{\pi }{6} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 6-3\sqrt{3} \right)+\left( 6-3\sqrt{3} \right)=12-6\sqrt{3}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=2A+\Delta {{s}_{\min }}=2. 6+\left( 12-6\sqrt{3} \right)=24-6\sqrt{3}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \left( rad/s \right) $$
Có $$ t=1,5\,s=1+0,5=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,5\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là lớn nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$
đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=2A+\Delta {{s}_{\max }}=2. 2+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}\,cm. $$
Quãng đường vật đi được trong 0,5 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 2-\sqrt{2} \right)+\left( 2-\sqrt{2} \right)=4-2\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=2A+\Delta {{s}_{\min }}=2. 2+\left( 4-2\sqrt{2} \right)=8-2\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có tốc độ góc
$$ \omega =2\pi f=2\pi \left( rad/s \right) $$
Có $$ t=1,75\,s=3. 0,5+0,25=3\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4} $$
Mà trong những khoảng thời gian bằng nửa chu kì chất điểm đi được quãng đường 2A.
$$ \Rightarrow s=3. 2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \Delta t=0,25\,s $$ chất điểm quay được góc $$ \Delta \alpha =\dfrac{\pi }{2}\,rad$$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là lớn nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{3\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=3. 2A+\Delta {{s}_{\max }}=3. 2. 4+4\sqrt{2}=24+4\sqrt{2}\,cm. $$
Quãng đường vật đi được trong 0,25 s là nhỏ nhất
$$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{4}\to \dfrac{\pi }{4} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( 4-2\sqrt{2} \right)+\left( 4-2\sqrt{2} \right)=8-4\sqrt{2}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=3. 2A+\Delta {{s}_{\min }}=3. 2. 4+\left( 8-4\sqrt{2} \right)=32-4\sqrt{2}\,cm. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.

Vật đi được quãng đường 3 cm trong thời gian nhỏ nhất khi góc quay $$ \Delta \alpha $$
đối xứng qua vị trí cân bằng, đi trong thời gian lớn nhất khi góc quay $$ \Delta \alpha $$ đối xứng qua biên.
\[{{s}_{max}}=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow 3=2. 3sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[{{s}_{min}}=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2} \right)\Rightarrow 3=2. 3\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2} \right)\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
Mà $$ \left\{ \begin{array}{l} {{\alpha }_{\min }}=\omega {{t}_{\min }} \\ {{\alpha }_{\max }}=\omega {{t}_{\max }} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{t}_{\max }}}{{{t}_{\min }}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{{{\alpha }_{\min }}}=\dfrac{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{\pi }{3}}=2. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.

Vật đi được quãng đường 3 cm trong thời gian nhỏ nhất khi góc quay $$ \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, đi trong thời gian lớn nhất khi góc quay $$ \Delta \alpha $$ đối xứng qua biên.
\[{{s}_{max}}=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow 4\sqrt{3}=2. 4sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
\[{{s}_{min}}=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2} \right)\Rightarrow 4\sqrt{3}=2. 4\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2} \right)\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=2,873\,rad\]
Mà $$ \left\{ \begin{array}{l} {{\alpha }_{\min }}=\omega {{t}_{\min }} \\ {{\alpha }_{\max }}=\omega {{t}_{\max }} \end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{t}_{\max }}}{{{t}_{\min }}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{{{\alpha }_{\min }}}=\dfrac{2,873}{\dfrac{2\pi }{3}}=1,37. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{0,9}=\dfrac{20\pi }{9}rad/s. \]
Biên độ dao động \[A=\dfrac{{{a}_{\max }}}{{{\omega }^{2}}}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{{{\left( \dfrac{20\pi }{9} \right)}^{2}}}=0,2025\,\,m=20,25\,\,cm. \]
$$ \Rightarrow s=60,75=2. 20,25+20,25=2A+A $$
$$ \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}+\Delta t $$
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.

Ta quy về tìm thời gian ngắn nhất và dài nhất để chất điểm đi được quãng đường bằng A.
\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{20,25}{2. 20,25}=0,5\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{20\pi }{9}}=0,15s\].
\[s=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{2} \right)\Rightarrow \]\[cos\dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2}=1-\dfrac{20,25}{2. 20,25}=0,5\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{max}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{20\pi }{9}}=0,3s. \]
$$ t=\dfrac{T}{2}+\Delta t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{t}_{\max }}=0,45+0,3=0,75\,s. \\ {{t}_{\min }}=0,45+0,15=0,6\,s. \end{array} \right. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{0,18}=\dfrac{100\pi }{9}rad/s. \]
Biên độ dao động \[A=\dfrac{{{v}_{\max }}}{\omega }=\dfrac{\pi }{\dfrac{100\pi }{9}}=0,09\,\,m=9\,\,cm. \]
$$ \Rightarrow s=27=2. 9+9=2A+A $$
$$ \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}+\Delta t $$
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.
Ta quy về tìm thời gian ngắn nhất và dài nhất để chất điểm đi được quãng đường bằng A.

\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{9}{2. 9}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{100\pi }{9}}=0,03\,s\].
\[s=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{2} \right)\Rightarrow \]\[cos\dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2}=1-\dfrac{9}{2. 9}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{max}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{100\pi }{9}}=0,06\,s. \]
$$ t=\dfrac{T}{2}+\Delta t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{t}_{\max }}=0,09+0,06=0,15\,s. \\ {{t}_{\min }}=0,09+0,03=0,12\,s. \end{array} \right. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{1,5}=\dfrac{4\pi }{3}\,\left( rad/s \right) $$
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.

\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{s}{2A}=\dfrac{A}{2A}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{4\pi }{3}}=0,25\,s\].
\[s=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{2} \right)\Rightarrow \]\[cos\dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2}=1-\dfrac{s}{2A}=1-\dfrac{A}{2A}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{max}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{4\pi }{3}}=0,5\,s. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{3}rad/s. \]
$$ \Rightarrow s=9=2. 3+3=2A+A $$
$$ \Rightarrow t=\dfrac{T}{2}+\Delta t $$
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác.
Ta quy về tìm thời gian ngắn nhất và dài nhất để chất điểm đi được quãng đường bằng A.

\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{s}{2A}=\dfrac{3}{2. 3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{2\pi }{3}}=0,5\,s\].
\[s=2A\left( 1-\cos \dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{2} \right)\Rightarrow \]\[cos\dfrac{{{\alpha }_{max}}}{2}=1-\dfrac{s}{2. A}=1-\dfrac{3}{2. 3}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{max}}=\dfrac{2\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{max}}=\dfrac{{{\alpha }_{\max }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{2\pi }{3}}{\dfrac{2\pi }{9}}=1\,s. \]
$$ t=\dfrac{T}{2}+\Delta t\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{t}_{\max }}=1,5+1=2,5\,s. \\ {{t}_{\min }}=1,5+0,5=2\,s. \end{array} \right. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\pi \,rad/s. \]
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác, chất điểm đi được quãng đường \[4\sqrt{2}\text{ }cm\] khi đi quay một góc $$ {{\alpha }_{\min }} $$ đối xứng qua vị trí cân bằng như hình.

\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[4\sqrt{2}=2. 4sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2. 4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{2}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{2}}{\pi }=0,5\,s\].

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Để vật đi từ li độ \[x=A\] đến li độ \[x=\dfrac{A}{\sqrt{2}}\] mất ít thời gian nhất thì vật đi từ vị trí $$ {{M}_{1}} $$ đến vị trí $$ {{M}_{2}} $$ như hình vẽ.

\[\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow \Delta t=\dfrac{T}{8}. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Ta có \[\left| x \right|=3\sqrt{3}\,cm\Rightarrow x=3\sqrt{3}\,cm\] hoặc \[x=-3\sqrt{3}\,cm\].
Để vật đi từ vị trí cân bằng đến khi vật ở cách vị trí cân băng 1 đoạn bằng $$ 3\sqrt{3}\,cm $$ mất ít thời gian nhất thì vật đi từ $$ {{M}_{1}}\to {{M}_{2}} $$ như hình vẽ.

\[\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }t=\dfrac{T}{6}=1\,s. \]

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{6}=\dfrac{\pi }{3}\,rad/s. \]
Ta có $$ 36=2. 4. 4+4=2. 4A+A $$
$$ \Rightarrow t=2T+\Delta t $$
Xét bài toán tìm thời gian ngắn nhất vật đi được quãng đường 4 cm.
Biểu diễn dao động trên đường tròn lượng giác, chất điểm đi được quãng đường 4 cm khi đi quay một góc
$$ {{\alpha }_{\min }} $$ đối xứng qua vị trí cân bằng như hình.

\[s=2Asin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[4=2. 4sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}\Rightarrow \]\[sin\dfrac{{{\alpha }_{min}}}{2}=\dfrac{4}{2. 4}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{\alpha }_{min}}=\dfrac{\pi }{3}\,rad\]
\[\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }{{t}_{min}}=\dfrac{{{\alpha }_{\min }}}{\omega }=\dfrac{\dfrac{\pi }{3}}{\dfrac{\pi }{3}}=1\,s. \]
Thời gian ngắn nhất vật đi được quãng đường có độ dài 36 cm là
$$ t=2T+\Delta t=2. 6+1=13\,s. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Tần số góc \[\omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi \,rad/s. \]
$$ t=\dfrac{4}{3}\,s=1+\dfrac{1}{3}\,s=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{6} $$
$$ s=2A+\Delta s $$
Trong khoảng thời gian $$ \dfrac{1}{3}\,s $$ chất điểm quay được một góc $$ \Delta \alpha =\omega . \Delta t=\dfrac{\pi }{3}\,rad$$
Tốc độ chuyển động trung bình của chất điểm lớn nhất khi quãng đường vật đi được trong $$ \dfrac{1}{3}\,s $$ là lớn nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí cân bằng, vật đi từ vị trí góc $$ \dfrac{\pi }{3}\to \dfrac{2\pi }{3} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\max }}=\dfrac{A}{2}+\dfrac{A}{2}=A\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\max }}=2A+\Delta {{s}_{\max }}=2A+A=3A. $$
Tốc độ trung bình lớn nhất là $$ {{v}_{tb\max }}=\dfrac{{{s}_{\max }}}{\Delta t}=\dfrac{3A}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9A}{4}\,. $$
Tốc độ chuyển động trung bình của chất điểm nhỏ nhất khi quãng đường vật đi được trong $$ \dfrac{1}{3}\,s $$
là nhỏ nhất $$ \Rightarrow \Delta \alpha $$ đối xứng qua vị trí biên; khi đó vật đi từ vị trí góc $$ -\dfrac{\pi }{6}\to \dfrac{\pi }{6} $$ trên đường tròn.

$$ \Rightarrow \Delta {{s}_{\min }}=\left( A-\dfrac{A\sqrt{3}}{2} \right)+\left( A-\dfrac{A\sqrt{3}}{2} \right)=2A-A\sqrt{3}\,cm. $$
$$ \Rightarrow {{s}_{\min }}=2A+\Delta {{s}_{\min }}=2A+2A-A\sqrt{3}=4A-A\sqrt{3} $$
Tốc độ trung bình nhỏ nhất là
$$ {{v}_{tb\min }}=\dfrac{{{s}_{\min }}}{\Delta t}=\dfrac{4A-A\sqrt{3}}{\dfrac{4}{3}}=3A-\dfrac{3\sqrt{3}\,A}{4}. $$
$$ \Rightarrow \dfrac{{{v}_{tb\min }}}{{{v}_{tb\max }}}=\dfrac{3A-\dfrac{3\sqrt{3}\,A}{4}}{\dfrac{9A}{4}}=\dfrac{4-\sqrt{3}}{3}. $$

Hướng dẫn giải bài tập quãng đường cực đại, quãng đường cực tiểu trong dao động điều hòa
Biểu diễn dao động con lắc trên đường tròn lượng giác.

Trong một chu kì, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ \[x=-A\] đến vị trí có li độ \[x~=\dfrac{A}{2}\] là khi đi từ vị trí
$$ {{M}_{1}}\to {{M}_{2}}. $$
$$ \Rightarrow \alpha =\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow t=\dfrac{T}{3}=1\,s\Rightarrow T=3\,s. $$