Chuyên đề đồ thị dao động điều hòa, vật lí lớp 12

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 5 cm.

+) Tại t = 0, vật có x = 5 cm, tức biên dương $\to $ pha ban đầu $\varphi =0$.

+) Từ đồ thị kết hợp với trục phân bố thời gian đã học ta có: $0,5=\dfrac{T}{4}\to T=2\left( s \right)\to \omega =\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=5\cos \pi t\text{ (}cm)\]

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 4 cm.

+) Tại t = 0, vật qua VTCB theo chiều âm $\to $ pha ban đầu $\varphi =\dfrac{\pi }{2}$.

+) Từ đồ thị ta có: $1=T\to \omega =2\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=4\cos (2\pi t+\dfrac{\pi }{2})cm\].

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 6 cm.

+) Tại t = 0, x = – A, biên âm $\to $ pha ban đầu $\varphi =\pm \pi $.

+) Từ đồ thị ta có: $1,5\text{ s}=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}\to T=2\text{ s}\to \omega =\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=6\cos (\pi t-\pi )\text{ }cm\].

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 8 cm.

+) Tại t = 0, vật ở vị trí $x=4=\dfrac{A}{2}$và chuyển động theo chiều dương$\to $ pha ban đầu$\varphi =-\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

+) Từ đồ thị: $5,5=\dfrac{T}{6}+\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}\to T=6\left( s \right)\to \omega =\dfrac{\pi }{3}\left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=8\cos (\dfrac{\pi }{3}t-\dfrac{\pi }{3})\text{ }cm\]

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 6 cm.

+) Tại t = 0, x = $-\dfrac{A}{2}(-)$\to $ pha ban đầu $\varphi =\dfrac{2\pi }{3}$.

+) Từ đồ thị : $\dfrac{5}{12}\text{ s}=\dfrac{T}{6}+\dfrac{T}{4}\to T=1\text{ s}\to \omega =2\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=6\cos (2\pi t+\dfrac{2\pi }{3})\text{ }cm\]

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 4 cm.

+) Tại t = 0, x = $-\dfrac{A}{2}(+)$\to $ pha ban đầu $\varphi =-\dfrac{2\pi }{3}$.

+) Từ đồ thị: $7\text{ s}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{2}\to T=12\text{ s}\to \omega =\dfrac{\pi }{6}\left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=4\cos (\dfrac{\pi }{6}t-\dfrac{2\pi }{3})\text{ }cm\]

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 5 cm.

+) Tại t = 0, x = $\dfrac{A}{2}(-)$\to $ pha ban đầu $\varphi =\dfrac{\pi }{3}$.

+) Từ đồ thị: $\dfrac{5}{6}\text{ s}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{2}\to T=1\text{ s}\to \omega =2\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=5\cos (2\pi t+\dfrac{\pi }{3})\text{ }cm\].

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 8 cm.

+) Tại t = 0, x = $-\dfrac{A\sqrt{2}}{2}(+)$\to $ pha ban đầu $\varphi =-\dfrac{3\pi }{4}$.

+) Từ đồ thị : $\dfrac{29}{60}\text{ s}=\dfrac{T}{8}+T+\dfrac{T}{12}\to T=0,4\text{ s}\to \omega =5\pi \left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=8\cos (5\pi t-\dfrac{3\pi }{4})\text{ }cm\].

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$(*)

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 8 cm.

+) t₂ – t₁ = $4,25-2,75=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{4}\to T=3\left( s \right)\to \omega =\dfrac{2\pi }{3}\left( rad/s \right)$

+) Tại t = 2,75 s, vật ở VTCB và chuyển động theo chiều âm $\to $ Pha dao động ${{\phi }_{2,75s}}=\dfrac{\pi }{2}\left( rad \right)$.

Từ (*), ta có ${{\phi }_{2,75s}}=\dfrac{2\pi }{3}.2,75+\varphi =\dfrac{\pi }{2}\to \varphi =-\dfrac{4\pi }{3}\equiv \dfrac{2\pi }{3}\left( rad \right)$.

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=10\cos (\dfrac{2\pi }{3}t+\dfrac{2\pi }{3})\text{ }cm\]

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$(*)

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 7 cm.

+) t₂ – t₁ = $\dfrac{11}{24}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{12}\to T=0,5\left( s \right)\to \omega =4\pi \left( rad/s \right)$

+) Tại t = $\dfrac{1}{6}$ s, vật ở VTCB và chuyển động theo chiều âm $\to $ pha dao động ${{\phi }_{\dfrac{1}{6}s}}=\dfrac{\pi }{2}\left( rad \right)$.

Từ (*), ta có ${{\phi }_{\dfrac{1}{6}s}}=4\pi .\dfrac{1}{6}+\varphi =\dfrac{\pi }{2}\to \varphi =-\dfrac{\pi }{6}\left( rad \right)$.

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=7\cos (4\pi t-\dfrac{\pi }{6})\text{ }cm\].

Phương trình dao động có dạng tổng quát là: $x=\text{Acos}(\omega t+\varphi )$(*)

Từ đồ thị ta có:

+) Biên độ A = 10 cm.

+) t₂ – t₁ = $\dfrac{25}{72}-\dfrac{7}{36}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{8}\to T=\dfrac{1}{3}\left( s \right)\to \omega =6\pi \left( rad/s \right)$

+) Tại t = $\dfrac{7}{36}$ s, $x=\dfrac{A}{2}(-)$ $\to $ pha dao động ${{\phi }_{\dfrac{7}{36}s}}=\dfrac{\pi }{3}\left( rad \right)$.

Từ (*), ta có ${{\phi }_{\dfrac{7}{36}s}}=6\pi .\dfrac{7}{36}+\varphi =\dfrac{\pi }{3}\to \varphi =-\dfrac{5\pi }{6}\left( rad \right)$.

Vậy phương trình dao động cần tìm là \[x=10\cos (6\pi t-\dfrac{5\pi }{6})\text{ }cm\].

Phương trình dao động của điện tích $q={{q}_{0}}\text{cos}(\omega t+\varphi )$

Từ đồ thị ta có:

+) Tại t = 0, q = $\dfrac{{{q}_{0}}}{2}(-)$ $\to $ pha ban đầu $\varphi =\dfrac{\pi }{3}$.

+) Từ đồ thị:

${{7.10}^{-7}}\text{ s}=\dfrac{T}{12}+\dfrac{T}{2}\to T={{12.10}^{-7}}\text{ s}\to \omega =\dfrac{2\pi }{{{12.10}^{-7}}}=\dfrac{\pi }{6}{{.10}^{7}}\left( rad/s \right)$

Vậy phương trình dao động cần tìm là $q={{q}_{0}}c\text{os}\left( \dfrac{{{10}^{7}}\pi }{6}t+\dfrac{\pi }{3} \right)$

Phương trình dao động 2 vật lần lượt là: ${{x}_{1}}={{\text{A}}_{1}}\text{cos}({{\omega }_{1}}t+{{\varphi }_{1}})$

và ${{x}_{1}}={{\text{A}}_{2}}\text{cos}({{\omega }_{2}}t+{{\varphi }_{2}})$

Từ đồ thị dễ thấy:

+) Biên độ A₁ = A₂ = 6 cm.

+) Tại t = 0, 2 vật cùng qua VTCB theo chiều dương

$\to $ pha ban đầu ${{\varphi }_{1}}={{\varphi }_{2}}=-\dfrac{\pi }{2}$.

+) Từ đồ thị kết hợp với trục phân bố thời gian đã học ta có: T₂ = 2T₁.

Xét vật dao động (1): ${\rm{2,25 s}} = {T_1} + \dfrac{{{T_1}}}{2} \to {T_1} = 1,5{\rm{ s}} \to {T_2} = 3{\rm{ s}} \to \left\{ \begin{array}{l}{\omega _1} = \dfrac{{4\pi }}{3}\left( {rad/s} \right)\\{\omega _2} = \dfrac{{2\pi }}{3}\left( {rad/s} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình dao động 2 vật là \[{{x}_{1}}=6\cos (\dfrac{4\pi }{3}t-\dfrac{\pi }{2})\text{ }cm\]và \[{{x}_{2}}=6\cos (\dfrac{2\pi }{3}t-\dfrac{\pi }{2})\text{ }cm\]

Khi hai vật gặp nhau khi x₁ = x₂

\[6\cos (\dfrac{{4\pi }}{3}t – \dfrac{\pi }{2}){\rm{ = }}6\cos (\dfrac{{2\pi }}{3}t – \dfrac{\pi }{2}){\rm{ }} \to \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{4\pi }}{3}t – \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{2\pi }}{3}t – \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi ;k \in Z\\\dfrac{{4\pi }}{3}t – \dfrac{\pi }{2} = – \dfrac{{2\pi }}{3}t + \dfrac{\pi }{2} + 2m\pi ;m \in Z\end{array} \right.\]

\[ \to \left[ \begin{array}{l}t = 3k = 3s;{\rm{ 6s; 9s; 12s;}}…\\t = 0,5 + m = 0,5s;{\rm{ 1,5s; 2,5s; 3,5s; }}…\end{array} \right.\]

→ thời điểm lần 5 mà 2 vật gặp nhau là 3,5 s.

Dễ dàng xác định được phương trình dao động: \[\text{x}=5\cos \left( 2\pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\] cm.

Tại t = 1,5s: ${{\phi }_{1,5s}}=2\pi .1,5+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{10\pi }{3}\equiv -\dfrac{2\pi }{3}$ → \[\text{x}=-\dfrac{A}{2}(+)\]

Khoảng thời gian vật dao động: ∆t = t’ – t = $\dfrac{1516}{3}-1,5=503T+\dfrac{5T}{6}$

Cứ 1 chu kì, vật cách VTCB $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ cm ($x=\pm \dfrac{A\sqrt{3}}{2}$) 4 lần.

Do đó, kể từ t = 1,5s, sau 503T thì vật cách VTCB $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ cm 2012 lần và quay lại trạng thái tại t = 1,5s:

\[\text{x}=-\dfrac{A}{2}(+)\], sau đó $\dfrac{5T}{6}$ vật dao động tiếp như sau:

Tức là, vật cách VTCB $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$thêm 3 lần nữa. Vậy tổng là 2015 lần!

Từ đồ thị: A = 0,2 m; F_max = mω²A = 0,8 N → ω = 20 rad/s → T = 0,314 s

a_max = ω²A = 400 cm/s² = 4 m/s².

Lực kéo về cực đại bằng nhau, do đó:

${{m}_{1}}\omega _{1}^{2}{{A}_{1}}={{m}_{2}}\omega _{2}^{2}{{A}_{2}}\to \dfrac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\dfrac{\omega _{1}^{2}{{A}_{1}}}{\omega _{2}^{2}{{A}_{2}}}$

Nhìn đồ thị dễ thấy:

$\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\dfrac{1}{3}$ và $\dfrac{{{v}_{1\max }}}{{{v}_{2\max }}}=3\to \dfrac{{{\omega }_{1}}{{A}_{1}}}{{{\omega }_{2}}{{A}_{2}}}=3\to \dfrac{{{\omega }_{1}}}{{{\omega }_{2}}}=9$. Do đó: $\dfrac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=27$.

Đọc đồ thị: $x=6\cos (2\pi t+\dfrac{2\pi }{3})$

$\left. \begin{array}{l}{v_{\max }} = \omega A = 12\pi \\{\rm{ }}{\varphi _v} = \varphi + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{2} = \dfrac{{7\pi }}{6} \equiv – \dfrac{{5\pi }}{6}\end{array} \right\} \to x = 12\pi \cos (2\pi t – \dfrac{{5\pi }}{6})$ cm/s.

Phương trình vận tốc cần tìm có dạng: $v={{v}_{\max }}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{v}} \right)$

v_max = 8 (cm/s)

Tại t = 0: v = 4 cm = $\dfrac{{{v}_{\max }}}{2}$ và đang tăng → ${{\varphi }_{v}}=-\dfrac{\pi }{3}$

$5,5\pi =\dfrac{T}{6}+\dfrac{T}{2}+\dfrac{T}{4}$ → T = 6π → ω = $\dfrac{1}{3}$ rad/s.

Do đó, $v=8\cos \left( \dfrac{t}{3}-\dfrac{\pi }{3} \right)$ cm/s → $x=24\cos \left( \dfrac{t}{3}-\dfrac{5\pi }{6} \right)$ cm.

Phương trình vận tốc cần tìm có dạng: $v={{v}_{\max }}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{v}} \right)$

$\Delta t=\dfrac{11}{24}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{T}{4}+\dfrac{T}{3}\to T=0,5\text{s}\to \omega =4\pi $rad/s.

Tại t = $\dfrac{1}{6}$ s: v = 0 (-) → ${{\phi }_{v\left( \dfrac{1}{6}s \right)}}=4\pi .\dfrac{1}{6}+{{\varphi }_{v}}=\dfrac{\pi }{2}\to {{\varphi }_{v}}=-\dfrac{\pi }{6}$

Vậy: $v=8\cos \left( 4\pi t-\dfrac{\pi }{6} \right)$cm/s → $x=\dfrac{2}{\pi }\cos \left( 4\pi t-\dfrac{2\pi }{3} \right)$ cm.

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{T}{4} = 0,5 \Rightarrow T = 2\left( s \right) \Rightarrow \omega = \pi \left( {ra{\rm{d}}/s} \right)\\A = 5\left( {cm} \right)\end{array} \right.$

→ x = 5cosπt → $v=5\pi \cos \left( \pi t+\dfrac{\pi }{2} \right)$cm/s.