Bài tập công thức độc lập thời gian, vật lí 11

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Phương trình li độ dao động của vật \[x=Acos(\omega . t)\]

$$ \Rightarrow v=\omega . A cos\left( \omega . t+\dfrac{\pi }{2} \right) $$

\[\Rightarrow a={{\omega }^{2}}. A cos(\omega . t+\pi )\]

\[\Rightarrow F=ma=m. {{\omega }^{2}}. A cos(\omega . t+\pi )=k. A cos(\omega . t+\pi )\]

Vậy trong dao động điều hòa, li độ của vật biến độ ngược pha so với lực tác dụng vào vật.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Lực kéo về \[F=-kx\]

Lực kéo về tác dụng lên một chất điểm dao động điều hòa có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ và luôn hướng về vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Gia tốc

$$ a=-{{\omega }^{2}}x $$

Vectơ gia tốc của chất điểm có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ, chiều luôn hướng về vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Chu kì \[T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{K}}=\dfrac{\pi }{5}s. \]

Độ dài quỹ đạo dao động

$$ 2A={{l}_{\max }}-{{l}_{\min }}\Rightarrow A=\dfrac{{{l}_{\max }}-{{l}_{\min }}}{2}=\dfrac{40-28}{2}=6\,cm. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Tần số góc

$$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=\dfrac{2\pi }{5}\,rad/s. $$

Tại thời điểm \[t=5\text{ }s\] có \[A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega } \right)}^{2}}}=1\,\,cm. \]

\[\Rightarrow x=cos\left( \dfrac{2\pi }{5}t+\varphi \right)\,\,cm. \]

\[\Rightarrow v=-\dfrac{2\pi }{5}sin\left( \dfrac{2\pi }{5}t+\varphi \right)\,cm/s\].

Tại \[t=5\text{ }s=T\] thì vật có li độ \[x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] và chuyển động theo chiều dương \[\left( do\text{ }v>0 \right)\]

$$ \Rightarrow $$ tại thời điểm

$$ t=0\, $$ vật cũng có li độ \[x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=A\dfrac{\sqrt{2}}{2}\] và chuyển động theo chiều dương.

$$ \Rightarrow {{\varphi }_{o}}=-\dfrac{\pi }{4}\,rad. $$

Phương trình dao động của con lắc lò xo là \[x=cos\left( \dfrac{2\pi }{5}t-\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[{{a}_{max}}={{\omega }^{2}}A\,\,v\grave{a}\,\,{{v}_{max}}=\omega A\]

\[\Rightarrow \omega =\dfrac{{{a}_{max}}}{{{v}_{max}}}=3,18rad/s\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=\dfrac{{{v}_{max}}}{\omega }=20\,\,cm. \\ T=\dfrac{2\pi }{\omega }=2\,s. \end{array} \right. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[\omega =2\pi f=8\pi \,\left( rad/s \right)\]

Áp dụng công thức độc lập thời gian \[{{A}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\]

\[\Rightarrow |v|\,=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=8\pi \sqrt{0,{{05}^{2}}-0,{{03}^{2}}}=0,32\pi \,\,m/s=32\pi \,\,cm/s. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Sử dụng công thức độc lập thời gian ta có \[{{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{(\dfrac{v}{\omega })}^{2}}=16\Rightarrow A=4\,\,cm. \]

Tại thời điểm \[t=0\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l} x=4cos(10\sqrt{5}t+\varphi )=2 \\ v=-40\sqrt{5}sin(10\sqrt{5}+\varphi )=-20\sqrt{5}<0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{3}\,rad. \]

Phương trình dao động của vật là \[x=4cos\left( 10\sqrt{5}t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[{{a}_{max}}={{\omega }^{2}}A\,\,v\grave{a}\,\,{{v}_{max}}=\omega A\]

\[\Rightarrow \omega =\dfrac{{{a}_{max}}}{{{v}_{max}}}=5\sqrt{10}rad/s\Rightarrow k={{\omega }^{2}}.m=25\,\,N/m.\]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian \[{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}({{A}^{2}}-{{x}^{2}})\Rightarrow \omega =28,868\,\,rad/s\]

Tần số dao động là \[\Rightarrow f=\dfrac{2\pi }{\omega }=4,6\,\,Hz. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Theo phương trình độc lập thời gian

$$ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{v_{\max }^{2}}=1\Rightarrow$$

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ vào vận tốc có dạng một đường elipse.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Phương trình li độ dao động của vật \[x=Acos(\omega . t)\]

$$ \Rightarrow v=\omega . A cos\left( \omega . t+\dfrac{\pi }{2} \right) $$

\[\Rightarrow a=-{{\omega }^{2}}. A cos(\omega . t)\]

Khi 1 vật dao động điều hòa thì

– vận tốc sớm pha hơn li độ 1 góc

$$ \dfrac{\pi }{2}. $$

– gia tốc sớm pha hơn vận tốc 1 góc

$$ \dfrac{\pi }{2}. $$

– gia tốc ngược pha so với li độ.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian \[{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}({{A}^{2}}-{{x}^{2}})\]

$$ \Rightarrow {{\left( \dfrac{{{v}_{max}}}{2} \right)}^{2}}={{\omega }^{2}}({{A}^{2}}-{{x}^{2}})\Rightarrow \dfrac{{{A}^{2}}}{4}={{A}^{2}}-{{x}^{2}}\Rightarrow |x|=\dfrac{A\sqrt{3}}{2}. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Tốc khi đi qua vị trí cân bằng của vật là cực đại, \[{{v}_{max}}=A\omega = A.\dfrac{2\pi }{T}=2\,m/s. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta có \[{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}(S_{o}^{2}-{{s}^{2}})\]

\[\Rightarrow {{v}^{2}}=\dfrac{g}{l}[{{(l. {{\alpha }_{o}})}^{2}}-{{(l. \alpha )}^{2}}]\Rightarrow \]\[\dfrac{{{v}^{2}}}{gl}={{\alpha }_{0}}^{2}{{\alpha }^{2}}. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật đi qua vị trí cân bằng là

$$ \dfrac{T}{2}=1\,s\Rightarrow T=2\,s\Rightarrow \omega =\pi \left( rad/s \right) $$ .

Áp dụng công thức độc lập thời gian có \[{{A}^{2}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}\Rightarrow A=0,02\,m=2\,cm. \]

$$ \Rightarrow x=2\cos (\pi . t+\varphi ) $$

Tại \[t=0\] có

$$ a=-0,1\,m/{{s}^{2}}\Rightarrow -{{\omega }^{2}}x=-0,1\Rightarrow x=1\,cm. $$

$$ \Rightarrow L\acute{u}c\,\,t=0\,\,c\acute{o}\,\,\left\{ \begin{array}{l} x=1 \\ v=-\pi \sqrt{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2cos\varphi =1 \\ -2\pi sin\varphi =-\pi \sqrt{3} \end{array} \right. \,\,\,\Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{3}(rad) $$

Phương trình dao động của vật là \[x=2cos\left( \pi t+\dfrac{\pi }{3} \right)\text{ }cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta có \[v=\pm \omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\pm 8\pi \,\,cm/s. \]

Gia tốc \[a=-{{\omega }^{2}}x=-16{{\pi }^{2}}\sqrt{3}\,\,cm/{{s}^{2}}. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Vận tốc biến đổi sớm pha $$ \dfrac{\pi }{2} $$

so với li độ nên pha của vận tốc là

$$ \dfrac{17\pi }{6}+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{10\pi }{3} $$ rad.

$$ \Rightarrow v=5. 2\pi . cos\dfrac{10\pi }{3}=-15,7\,\,cm. $$

Gia tốc biến đổi sớm pha $$ \dfrac{\pi }{2} $$ so với vận tốc nên pha của gia tốc là

$$ \dfrac{10\pi }{3}+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{23\pi }{6}\,rad. $$

\[\Rightarrow a=5. 4{{\pi }^{2}}. \cos \dfrac{23\pi }{6}=170,9\,\,cm/{{s}^{2}}. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta có \[{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}({{A}^{2}}-{{x}^{2}})\Rightarrow {{\omega }^{2}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}. \]

$$ \Rightarrow {{\omega }^{2}}=\dfrac{{{A}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{v}^{2}}}\,\,\,l\grave{a}\,\,sai. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Tại vị trí cân bằng thì \[{{a}_{tt}}=0;\,\,{{a}_{ht}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{l}=2g(1-cos{{\alpha }_{0}})\]

Gia tốc tại vị trí cân bằng là \[{{a}_{cb}}={{a}_{ht}}=2g(1-cos{{\alpha }_{0}})\]

Tại vị trí biên thì \[{{a}_{tt}}=gsin{{\alpha }_{0}};\,\,{{a}_{ht}}=0\]

Gia tốc tại vị trí biên là \[{{a}_{b}}={{a}_{tt}}=gsin{{\alpha }_{0}}\]

$$ \Rightarrow \dfrac{{{a}_{cb}}}{{{a}_{b}}}=\dfrac{2g(1-cos{{\alpha }_{0}})}{gsin{{\alpha }_{0}}}=\dfrac{2(1-cos{{\alpha }_{0}})}{sin{{\alpha }_{0}}}=\dfrac{2(1-cos0,1)}{sin0,1}=0,1. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[{{v}_{1}}=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}\Rightarrow \omega =\dfrac{{{v}_{1}}}{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}}\]

\[\Rightarrow |{{v}_{2}}|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}=\sqrt{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}\dfrac{{{v}_{1}}}{\sqrt{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}}={{v}_{1}}\sqrt{\dfrac{{{A}^{2}}-x_{2}^{2}}{{{A}^{2}}-x_{1}^{2}}}. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có $$ \omega =\dfrac{2\pi }{T}=10\pi \,\left( rad/s \right) $$ .

$$ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{v_{\max }^{2}}=1\Rightarrow $$

\[\dfrac{{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{(20\pi \sqrt{2})}^{2}}}{{{\left( 10\pi \right)}^{2}}. {{A}^{2}}}=1\Rightarrow A=4\,cm\]

Gốc thời gian lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm, dựa vào đường tròn lượng giác

$$ \Rightarrow {{\varphi }_{o}}=\dfrac{\pi }{2}\,rad. $$

Phương trình dao động của vật là \[~x=4cos\left( 10\pi t+\dfrac{\pi }{2} \right)\text{ }cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc và gia tốc là ba đại lượng biến thiên tuần hoàn theo thời gian và có cùng tần số.

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Vật dao động trên đoạn thẳng dài 10 cm nên $$ A=5\,cm. $$

Khi pha dao động bằng \[\dfrac{\pi }{3}\] thì

$$ x=A\cos \dfrac{\pi }{3}=\dfrac{A}{2}=2,5\,cm. $$

Ta có \[v=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{v}{\sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}}=\dfrac{-5\sqrt{3}\pi }{\sqrt{{{5}^{2}}-2,{{5}^{2}}}}=2\pi \,\left( rad/s \right). \]

Khi qua vị trí cân bằng vật có vận tốc là

$$ v=A\omega =5. 2\pi =10\pi \,cm/s. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập với thời gian ta có \[{{v}^{2}}={{\omega }^{2}}({{A}^{2}}-{{x}^{2}})=16{{\pi }^{2}}\Rightarrow v=\pm 4\pi \,\,cm/s. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có $$ a=-{{\omega }^{2}}x $$

$$ \Rightarrow {{a}_{t=0,25}}=-{{\omega }^{2}}{{x}_{t=0,25}}=-{{\left( 2\pi\right)}^{2}}. 2\cos \left( 2\pi . 0,25-\dfrac{\pi }{6} \right)=-40\,cm/{{s}^{2}}. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng công thức độc lập thời gian có \[{{A}^{2}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}\Rightarrow \omega =\dfrac{1}{3}(rad/s)\]

Lúc\[t=0\], con lắc qua vị trí có li độ \[x=3\sqrt{2}\text{ }cm\] theo chiều dương, sử dụng đường tròn lượng giác

$$ \Rightarrow {{\varphi }_{o}}=-\dfrac{\pi }{4}\,rad $$

Phương trình dao động của con lắc là \[x=6cos\left( \dfrac{t}{3}\dfrac{\pi }{4} \right)\text{ }cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[{{a}_{max}}={{\omega }^{2}}A\,\,v\grave{a}\,\,{{v}_{max}}=\omega A\]

\[\Rightarrow \omega =\dfrac{{{a}_{max}}}{{{v}_{max}}}=2\pi \,\,rad/s. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có \[f=3Hz\Rightarrow \omega =6\pi \Rightarrow A=\dfrac{{{v}_{max}}}{\omega }=\dfrac{24\pi }{6\pi }=4\,cm. \]

Sử dụng phương trình độc lập thời gian, ta được phương trình

$$ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{v_{\max }^{2}}=1\Rightarrow$$

\[\dfrac{{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{4}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\left( 24\pi\right)}^{2}}}=1\Rightarrow \left| v \right|=12\pi \,\,\left( cm/s \right). \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có

$$ a=-{{\omega }^{2}}x=-{{\left( 2\pi\right)}^{2}}. 10=-400\,cm/{{s}^{2}}=-4\,\,m/{{s}^{2}}. $$

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Áp dụng hệ thức độc lập thời gian

$$ {{A}^{2}}={{x}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} $$

ta có hệ hai phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l} {{A}^{2}}={{4}^{2}}+\dfrac{{{\left( 30\pi \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \\ {{A}^{2}}={{3}^{2}}+\dfrac{{{\left( 40\pi \right)}^{2}}}{{{\omega }^{2}}} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=5\text{ }cm \\ \omega =10\pi \,\,rad/s \end{array} \right. \Rightarrow f=5\,Hz. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Chu kì dao động \[T=\dfrac{31,4}{100}=\dfrac{\pi }{10}s\Rightarrow \omega =20\,rad/s\]

Sử dụng phương trình độc lập thời gian, ta được phương trình

$$ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{v_{\max }^{2}}=1\Rightarrow $$ \[\dfrac{{{2}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{(40\sqrt{3})}^{2}}}{{{20}^{2}}. {{A}^{2}}}=1\Rightarrow A=4\,cm\]

\[\Rightarrow x=4cos(20t+\varphi )\,cm\]

Tại thời điểm \[t=0\] có

$$ \left\{ \begin{array}{l} x=4cos(20t+\varphi )=2 \\ v=-80sin(20t+\varphi )=40\sqrt{3}>0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi =-\dfrac{\pi }{3}rad $$

Phương trình dao động của con lắc là \[x=4cos\left( 20t-\dfrac{\pi }{3} \right)\,cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có

$$ \omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{50}{2}}=5\,\left( rad/s \right) $$

Sử dụng công thức độc lập với thời gian ta có

\[{{A}^{2}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}=\dfrac{{{\left( 15\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{5}^{2}}}+\dfrac{{{75}^{2}}}{{{5}^{4}}}=36\Rightarrow A=6\,cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Ta có

$$ \omega =\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{20}{0,2}}=10\,\,\left( rad/s \right) $$

Sử dụng phương trình độc lập thời gian, ta được phương trình

\[{{A}^{2}}=\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}=\dfrac{{{20}^{2}}}{{{10}^{2}}}+\dfrac{{{\left( 200\sqrt{3} \right)}^{2}}}{{{10}^{4}}}=16\Rightarrow A=4\,cm. \]

Hướng dẫn giải Bài tập công thức độc lập thời gian trong dao động điều hòa, vật lí 11

Chu kì dao động \[T=\dfrac{31,4}{100}=\dfrac{\pi }{10}s\Rightarrow \omega =20\,rad/s\]

Sử dụng phương trình độc lập thời gian, ta được phương trình

$$ \dfrac{{{x}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{v_{\max }^{2}}=1\Rightarrow$$

\[\dfrac{{{2}^{2}}}{{{A}^{2}}}+\dfrac{{{(40\sqrt{3})}^{2}}}{{{20}^{2}}. {{A}^{2}}}=1\Rightarrow A=4\,cm\]

\[\Rightarrow x=4cos(20t+\varphi )\,cm\]

Tại thời điểm \[t=0\], \[2=4cos\varphi \Rightarrow cos\varphi =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{3}\,rad\] (Do vật chuyển động theo chiều âm)

Phương trình dao động của chất điểm là \[x=4cos\left( 20t+\dfrac{\pi }{3} \right)\,cm. \]